l'effet Doppler-Fizeau relativiste



COURS D'ASTROPHYSIQUE (étoiles)

1. Étoiles

1.1. Genèse

1.1.1 Effondrement d'un nuage interstellaire

1.1.2. Rayons de Jeans

1.1.3. Temps de chute libre

1.1.4. Durée de vie nucléaire

1.2. Température interne

1.3. Température externe

1.4. Luminosité

1.4.1. Éclat

1.4.2. Magnitude apparente

1.4.3. Magnitude absolue

1.4.4. Etoiles variables

1.5. Parallaxe trigonométrique

1.6. Effet Doppler-Fizeau

1.6.1. Vitesse apparente

1.7. Limite de Chandrasekhar

1.7.1. Limite de rupture de rotation

L'effet Doppler-Fizeau est le décalage entre la fréquence de l'onde émise et de l'onde reçue lorsque l'émetteur et le récepteur sont en mouvement l'un par rapport à l'autre. C'est une technique utilisée en astrophysique pour calculer la distance d'un astre en supposant sa longueur d'onde d'émission connue (ou estimée) et en mesurant sa longueur d'onde reçue.

L'effet Doppler des ondes électromagnétiques doit être discuté indépendamment de l'effet Doppler acoustique (appelé également "effet Doppler-Fizeau galiléen"). Premièrement parce que les ondes électromagnétiques ne consistent pas en un mouvement de matière et que par conséquent la vitesse de la source par rapport au milieu n'entre pas dans la discussion, ensuite parce que leur vitesse de propagation est c (la vitesse de la lumière) et reste la même pour tous les observateurs indépendamment de leurs mouvements relatifs. L'effet Doppler pour les ondes électromagnétiques se calcule donc nécessairement au moyen du principe de relativité.

Pour un observateur dans un repère d'inertie, une onde électromagnétique plane et harmonique peut être décrite par une fonction de la forme :

equation   (48.64)

multipliée par un facteur d'amplitude approprié. Pour un observateur attaché à un autre repère  d'inertie, les coordonnées x et t doivent être remplacées par x' et t', obtenues par la transformation de Lorentz (cf. chapitre de Relativité Restreinte), et celui-ci écrira par conséquent pour sa description la fonction :

equation   (48.65)

k' et equation ne sont pas nécessairement les mêmes que pour l'autre observateur (justement c'est ce que nous chercons à savoir). Par ailleurs, le principe de relativité demande que l'expression:

equation   (48.66)

reste invariante quand nous passons d'un observateur d'inertie à un autre. 

Nous aurons alors: 

equation   (48.67)

En utilisant les relations de transformation de Lorentz (cf. chapitre de Relativité Restreinte), nous avons:

equation   (48.68)

Par identification il vient immédiatement:

equation   (48.69)

si nous tenons compte que :

equation   (48.70)

dans le cas des ondes électromagnétiques, nous pouvons écrire chacune de ces relations sous la forme:

equation   (48.71)

Le rapport:

equation   (48.72)

donne le "décalage spectral" noté Z pour un mouvement de l'observateur par rapport à la source suivant la direction de propagation.

Par ailleurs la dernière relation avec les pulsations est plus souvent donnée dans la littérature sous la forme suivante :

equation   (48.73)

Ce qui se notre plus couramment encore :

equation   (48.74)

Il faut bien se rappeler que le décalage de pulsation (et donc fréquence) qui a lieu ici est dû à un mouvement relatif par rapport à la source et non autre chose. Effectivement, lors de notre étude la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Générale), nous verrons qu'il y a également superposition d'un décalage à cause du champ gravitationnel environnant l'émetteur qui sera étudié comme étant causé par la courbure de l'espace-temps.

En ce qui concerne la transformation de l'amplitude du champ électrique et du champ magnétique il faut utiliser le tenseur de Maxwell démontré dans le chapitre de Relativité Restreinte.

Un très bon exemple de l'application de l'effet Doppler consiste à étudier les limites données par la mesure de la vitesse apparente. Voyons de quoi il s'agit :

VITESSE APPARENTE

En mesurant la vitesse apparente de déplacement d'objets très rapides dans le ciel (jets de plasma, etc...), les astrophysiciens ont obtenu des vitesses apparentes de déplacement supérieures à la vitesse de la lumière dans le vide!

Au fait, il s'agit d'une illusion qui peut se produire si la vitesse de l'objet est très proche de celle de la lumière qu'il émet, donc assez proche de c

equation
  (48.75)

L'objet émet de la lumière à l'instant equation, celle-ci ne nous atteint pas instantanément mais doit parcourir une distance d pour arriver à nous. Nous recevons après le temps :

equation   (48.76)

L'objet lui, se déplace à la vitesse v suivant un angle noté θ avec la direction d'observation, donc à l'instant t, l'objet s'est déplacé d'une distance equation. La lumière émise par l'objet à l'instant t doit parcourir la distance (application de Pythagore) :

equation   (48.77)

pour nous arriver (l'objet s'est avancé de equation dans la direction d'observation mais s'est éloigné de l'axe d'observation de la distance equation), nous recevons donc la lumière qui a été émise par l'objet à l'instant t après un temps equation :

equation   (48.78)

Entre les deux positions de l'objet, il s'est écoulé la durée t mais, vu de l'observateur, l'intervalle de temps entre la réception des images de ces deux positions est :

equation   (48.79)

différent de t.

Pour un intervalle de temps t petit, nous avons, en développement limité de Taylor :

equation   (48.80)

Pendant cet intervalle de temps, toujours vu de l'observateur, l'objet semble s'être déplacé sur le plan du ciel de equation.

Ainsi, la vitesse apparente de l'objet est :

equation   (48.81)

Si nous posons l'angle equation comme étant égal très proche d'un angle droit, nous avons alors le deuxième terme du dénominateur qui est très petit ce qui nous permet avec un développement de Taylor d'écrire une relation que l'on retrouve assez souvent dans les manuels scolaires des petites classes:

equation   (48.82)

Cherchons le maximum de cette fonction pour comprendre comme une telle observation est possible en dérivant par rapport à equation et en cherchant pour quelle valeur la dérivée s'annule:

equation   (48.83)

et cela s'annule après simplification du dénominateur pour :

equation   (48.84)

d'où :

equation   (48.85)

La vitesse apparente est alors est alors :

equation   (48.86)

et elle est égale ou supérieure c si déjà :

equation   (48.87)

donc :

equation   (48.88)

Nous voyons ainsi qu'il est possible d'observer des mouvements apparents plus rapides que la lumière, alors même que l'objet est très rapide, certes, mais plus lent que c. Comme il ne s'agit que d'une illusion, il n'y a pas de contradiction avec la théorie de la relativité.

En connaissant la vitesse de déplacement d'un astre obtenue à l'aide de l'effet Doppler et la vitesse apparente à l'aide des observations, il est alors facile pour les astrophysiciens de déterminer l'angle equation en faisant un peu d'algèbre élémentaire à partir de la relation ci-dessous :

equation   (48.89)


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