Cours gratuit de cosmologie
1. Modèle cosmologique newtonien
1.1. Principe cosmologique
1.2. Loi de Hubble
1.3.1. Constante cosmologique
1.3.2. Densité critique
2. Modèles d'Univers de Friedmann-Lemaître
2.1. Modèle euclidien
4. L'Univers Trou Noir
La cosmologie s'occupe donc de comprendre la naissance et l'évolution de l'Univers par la méthode scientifique. C'est uniquement par ce jeu entre théorie physique, modélisation et observation que nous aborderons cette question ici. Nous éviterons soigneusement toute digression métaphysique. Les problèmes spécifiques de la cosmologie tiennent dans sa définition même: la statistique qui est une des grandes méthodes scientifiques est apparemment pauvre: nous n'avons qu'un univers à notre disposition. En outre, nous n'observons que le passé de l'Univers. Peut-on parler de prédictions dans ces conditions? Les théories sont cependant falsifiables dans la mesure où elles prédisent des comportements que des observations peuvent tester.
La cosmologie utilise principalement l'arsenal des mathématiques, de la physique théorique, de la physique des particules, de la physique nucléaire, de la physique des détecteurs, et de l'astrophysique. Elle est donc interdisciplinaire. La cosmologie traite des échelles supérieures à la taille d'une galaxie jusqu'aux échelles définies par elle-même comme les horizons. Encore que la limite soit volontairement floue, la cosmologie ne traite pas des détails internes de la naissance et de l'évolution d'objets astrophysiques (tels que les galaxies, les amas globulaires, ou des amas de galaxies) qui relèvent plus de la "cosmogonie".
MODÈLE COSMOLOGIQUE NEWTONIEN
Un modèle cosmologique est une représentation mathématique de l'Univers qui cherche à expliquer les raisons de son aspect actuel, et à décrire son évolution au cours du temps (appelé "temps cosmologique") mais pas de sa création!
Le modèle Newtonien s'applique dans le cadre des hypothèses de la mécanique de Newton (action instantanée). Les résultats que nous allons étudier ici ont été découverts avant le développement de la Relativité Générale mais publié après! Mais ce modèle présente l'avantage de la simplicité tout en étant capable de mettre en évidence et de discuter de la dynamique de l'Univers et de se préparer à l'étude des modèles d'Univers faisant usage des résultats de la Relativité Générale. Ses inconvénients, outre le fait qu'il ne correspond pas tout à fait avec les résultats expérimentaux, est de n'être plus valable dans des conditions extrêmes donc de ne pas être extrapolable à l'instant du Big Bang.
Avant de commencer, nous devons définir le "principe cosmologique" formé des deux assertions suivantes (en gros, il assure que nous ne sommes pas des observateurs privilégiés, et que ce que nous observons est bien représentatif de l'ensemble de l'Univers) :
- L'espace (Univers) est homogène, c'est à dire qu'il présente les mêmes propriétés dans toutes ses régions. Ceci doit s'entendre à très grande échelle, au-delà du millier de Mpc (Mégaparsecs). Il est clair qu'à petite échelle existent des inhomogénéités, nous par exemple.
- L'espace (Univers) est isotrope, c'est à dire qu'il n'existe pas de direction particulière de l'espace, comme une direction d'aplatissement, ou un mouvement d'ensemble à l'échelle Universelle par exemple.
Nous allons poser quelques autres hypothèses de travail :
H1. L'Univers est un fluide gazeux non visqueux dont les particules sont les galaxies. Sous l'hypothèse du principe cosmologique, le mouvement des galaxies, constituants de ce "fluide" est par construction, statistiquement au repos.
H2. L'Univers est thermodynamiquement un système fermé, sans travail et adiabatique (pas d'échange de chaleur avec l'extérieur).
H3. L'Univers en expansion et homothétique (en expansion proportionnelle dans toutes ses dimensions) pris comme ayant une géométrique sphérique avec un centre (eh oui c'est le modèle newtonien...).
H4. Sa masse volumique est uniquement fonction du temps et il y a conservation de la masse (et donc de l'énergie). Donc la quantité de matière y est constante!
H5. Nous acceptons la dynamique (approximation) newtonienne pour construire les modèles à suivre dans ce chapitre.
H6. L'origine du temps est assimilée à l'origine de création de l'Univers et le référentiel d'étude est comobile aux particules (et se déplace donc avec les galaxies posées sur la trame de l'espace-temps) et appelée "référentiel matériel" (les galaxies sont donc immobiles dans ce référentiel!).
LOI DE HUBBLE
Sous l'hypothèse du principe cosmologique et des hypothèses précédentes, la distance d'un point origine O à un point M quelconque de l'Univers peut varier en fonction du temps (de manière indétectable à l'échelle humaine) sous la forme :
(51.1)
où F(t) est le "facteur d'échelle" (souvent noté R(t) dans la littérature aussi...).
En écrivant cette relation, nous considérons que les points O et M sont sur un plan à courbure nulle. Effectivement, si nous imaginons deux points sur une surface courbe cercle (par exemple la surface d'une sphère) voyons ce qui ce passe:
(51.2)
La distance entre deux points du cercle (in extenso de l'espace sphérique) est donné par:
(51.3)
Nous voyons très bien dans cette relation que si le rayon (de l'Univers sphérique) change d'un facteur F, alors la variation de distance entre les deux points n'est pas proportionnelle à ce facteur !! Ce qui n'est pas le cas dans un plan à courbure nulle.
Conséquence: Notre modèle Newtonien n'est valable que dans un Univers plat alors que la relativité générale peut prendre en compte différents types de courbure !
Nous voyons tout de suite que la relation:
(51.4)
est indépendante de l'origine choisie, en effet, si nous l'appliquons à deux points A, B quelconques, nous avons :
(51.5)
Soit par différence:
(51.6)
R1.
Au temps 
il
est évident que la relation précédente s'écrit :
(51.7)
et
nous impose 
.
Cette remarque est importante et nous y reviendrons plusieurs fois
pendant les développements qui vont suivre.
R2. La loi s'applique donc à un segment 
quelconque
dans l'Univers c'est pourquoi l'Univers ne comporte pas de centre
géométrique et que nous pouvons nous donner une image suggestive
pour se donner une idée de l'expansion de la trame de l'Univers
: soit un ballon mi-gonflé sur la surface de laquelle nous traçons
deux repères (par exemple : deux croix tracées à l'encre). En
le gonflant davantage, nous constaterons que ces deux croix
s'écartent
l'une de l'autre et donc la distance qui les séparent s'accroître.
C'est ce que nous constatons avec les galaxies.
Dérivons par rapport au temps la relation:
(51.8)
Le
premier membre donne alors la vitesse des particules (ou de tout
autre objet) au point 
:
(51.9)
Soit
en éliminant 
:
(51.10)
Nous posons pour simplifier l'écriture :
(51.11)
Nous avons donc :
(51.12)
Cette relation est connue sous le nom de "loi de Hubble".
Avant
d'aller plus loin, il convient de s'arrêter sur cette équation pour
l'instant présent 
:
(51.13)
Cette équation dit que les objets de l'Univers s'éloignent avec une vitesse proportionnelle à leur éloignement dans tous les points de l'Univers sans référentiel privilégié (aucune galaxie ne semble être fixe alors qu'elles le sont dans le référentiel matériel!).
La constante 
étant
bien sûr identifiable à la "constante
de Hubble" telle qu'elle est mesurée actuellement et
valant (très approximativement) environ : 
.
En unités S.I., puisque un mégaparsec vaut 
alors nous avons :
(51.14)
Ainsi, une estimation actuelle de l'âge de l'Univers pourrait être interprétée comme l'inverse de la constante de Hubble qui donne le "temps de Hubble" :
(51.15)
soit environ 13 milliards d'années.
Inversement,
nous pouvons nous amuser à calculer la distance à partir de laquelle
nous pouvons atteindre la vitesse de la lumière 
avec la relation :
(51.16)
et une application numérique donne grosso modo 13 milliards d'années-lumière. Telle est la distance de "l'horizon cosmologique".
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