ÉQUATIONS DE FRIEDMANN



COURS DE COSMOLOGIE

1. Modèle cosmologique newtonien

1.1. Principe cosmologique

1.2. Loi de Hubble

1.3. Équations de Friedmann

1.3.1. Constante cosmologique

1.3.2. Densité critique

2. Modèles d'Univers de Friedmann-Lemaître

2.1. Modèle euclidien

2.2. Modèle sphérique

2.3. Modèle hyperbolique

2.4. Univers observable

3. Rayonnement fossile

4. L'Univers Trou Noir

Considérons maintenant un anneau sphérique de matière de rayon r et de masse constante m en expansion à la vitesse v , et contenant une boule de matière de masse M (elle aussi en expansion à la vitesse v).

Rappelons que selon le principe cosmologique, M et m n'ont pas la même densité equation à cause de la masse constante de l'Univers.

Nous pouvons appliquer à ce système la conservation de l'énergie mécanique car il est isolé (c'est d'ailleurs le seul vrai système isolé...). Nous obtenons alors l'équation :

equation   (51.17)

equation est une constante. En divisant par m chaque membre et en remplaçant M par son expression en fonction de la densité, nous obtenons :

equation   (51.18)

Remarque: Si cela peut aider le lecteur pour comrpn

Remarque: Si cela peut aider le lecteur à comprendre ce que nous avait fait avec le terme de l'énergie potentielle, il peut se référer au chapitre de Mécanique Classique lorsque nous avons développé les calculs de l'énergie potentielle d'une sphère de matière.

Or la loi de Hubble nous donne selon ce que nous avons vu plus haut:

equation   (51.19)

et :

equation   (51.20)

Nous obtenons:

equation   (51.21)

que nous simplifions en:

equation   (51.22)

Or, equation sont des constantes. Nous introduisons une nouvelle constante k définie par (afin de simplifier les écritures) :

equation   (51.23)

Nous obtenons donc l'équation :

equation   (51.24)

qui est n'est d'autre que la "première équation de Friedmann".

Que nous retrouvons dans la littérature souvent sous la forme suivante (parmi tant d'autres...):

equation   (51.25)

Remarque: Einstein rajouta à cette équation pour des raisons de convictions personnelles et quasi religieuses une fameuse constante cosmologique equation qui lui permettait de rendre statique le facteur d'échelle de l'Univers. Nous (les auteurs du site) rejetons cette constante arbitraire, même si dans la physique contemporaine elle est revenue à la mode (sa valeur a été cependant définie mathématiquement plutôt que religieusement) car elle permettrait d'expliquer la provenance de la matière sombre, les lois actuelle de notre Univers, la période inflationniste de notre Univers ainsi que sa géométrie. Ainsi, l'équation de Friedmann avec cette constante, qui est un total artifice de travail, moderne s'écrit :

equation   (51.26)

avec :

equation   (51.27)

C'est Andreï Sakharov qui a défini la valeur de cette constante cosmologique qui s'apparenterait soit disant à l'énergie quantique du vide (fonction des champs de Higgs).

Deux idées guident les chercheurs de ce début de 21ème siècle : en physique quantique les équations du champ associées aux particules élémentaires servent à définir la théorie du Big Bang. La célèbre équation d'équivalence d'Einstein nous dit que l'énergie crée un champ gravitationnel comme l'électron en mouvement provoque un champ électromagnétique. Il découle de ces deux observations qu'en mesurant le champ gravitationnel nous avons un moyen de déterminer l'énergie du vide. Le champ gravitationnel ne concerne plus la matière mais bien la densité d'énergie du vide. Or la constante cosmologique est directement proportionnelle à la constante de la gravitation, G. Sa mesure est un jeu très dangereux car de sa valeur dépend plusieurs lois fondamentales de physique et des propriétés non négligeables quant à la dynamique de notre Univers. Le débat reste donc complètement ouvert et si nous (les auteurs du site) trouvons une démonstration valable et rigoureuse de cette constante, nous mettrons à disposition du lecteur les conséquences de cette constante sur les modèles que nous allons voir ci-après.

Utilisons maintenant le premier principe de la thermodynamique (cf. chapitre de Thermodynamique) pour un système par définition fermé dont la somme de l'énergie cinétique et potentielle est constante (et donc la somme des variations est nulle pour ces deux énergies). Nous avons alors la variation d'énergie totale qui n'est donnée que par la variation d'énergie interne (cas le plus courant en thermodynamique pour les objets macroscopiques):

equation   (51.28)

et nous avons également vu dans le chapitre de Thermodynamique l'équation caractéristique du fluide à l'équilibre:

equation   (51.29)

Si le système est adiabate (aucun transfert chaleur entre le système et l'extérieur), alors nous avons selon ce qui a été vue dans le chapitre de Thermodynamique:

equation   (51.30)

Donc:

equation   (51.31)

Puisque l'Univers est supposée sphérique dans notre modèle, nous avons:

equation   (51.32)

et dans la référentiel matériel où les galaxies (particules du fluide cosmique) sont immobiles:

equation   (51.33)

Soit:

equation   (51.34)

ce qui se simplifie en:

equation   (51.35)

en prenant la dérivée par rapport au temps cosmique t:

equation   (51.36)

d'où:

equation   (51.37)

Reprenons maintenant la première équation de Friedmann, obtenue plus haut, sous la forme:

equation   (51.38)

et mettons la sous la forme suivante:

equation   (51.39)

Si nous différencions:

equation   (51.40)

Nous obtenons alors:

equation   (51.41)

Injectons:

equation   (51.42)

dans la relation:

equation   (51.43)

Nous obtenons alors:

equation   (51.44)

Soit:

equation   (51.45)

La relation suivante:

equation   (51.46)

est la "deuxième équation de Friedmann" appelée également "équation de Raychaudhuri".

DENSITÉ CRITIQUE

Revenons à notre première équation de Friedmann sans constante. En sachant que :

equation   (51.47)

Nous obtenons :

equation   (51.48)

qui se réarrange avec :

equation   (51.49)

en :

equation   (51.50)

L'exposant du terme de gauche impose que le terme de droite soit positif ou nul tel que :

equation   (51.51)

Rappelons que les conditions initiales nous imposent qu'au temps equation nous ayons :

equation et equation   (51.52)

Effectivement :

equation   (51.53)

Il vient alors :

equation   (51.54)

Ce terme devrait être accessible à l'observation, hélas equation  est très mal connu et equation encore plus. Autrement dit, compte tenu du signe "-" dans l'expression de k, nous ne connaissons aujourd'hui même pas le signe de cette constante.

Cependant, il peut-être important de noter qu'il existe une valeur equation  appelée "densité critique" qui annule k et donc aussi (voir plus haut):

equation  (51.55)

soit, l'énergie totale de l'Univers serait nulle (selon des considérations de la cosmologie quantique). Cette valeur de equation est donc trivialement:

equation   (51.56)

Pour equation (valeur actuelle) nous trouvons equation. A titre de comparaison, un atome d'hydrogène pèse equation, la densité critique correspondrait donc à 3 atomes d'hydrogène par mètre cube.

Les physiciens ont défini une constante (variant dans temps) notée par la lettre grecque equation et appelée "paramètre de densité cosmologique" et donnée par :

equation   (51.57)

Il est intéressant de travailler avec cette constante car dans le cas où :

- equation:

Nous avons :

equation   (51.58)

ce qui en remplaçant dans l'équation de Friedmann donne : equation (un Univers plat comme nous le verrons dans notre étude du modèle relativiste).

- equation:

En effectuant le même raisonnement, et toujours en inégalités, nous avons alors: equation(un Univers à courbure positive (fermé) comme nous le verrons dans notre étude du modèle relativiste).

- equation:

En effectuant le même raisonnement, mais en inégalités, nous avons alors: equation (un Univers à courbure négative (fermé) comme nous le verrons dans notre étude du modèle relativiste).

géométrie de l'univers
  (51.59)

Remarques:

R1. Toutes les mesures qui ont pu être faites jusqu'à présent n'ont pas permis de mettre en évidence une courbure de l'univers. Les mesures du rayonnement fossile par le ballon BOOMERANG et le satellite COBE tendent cependant à accréditer l'hypothèse d'un univers plat relativement aux simulations numériques :

equation
  (51.60)

R2. La notion de topologie de l'Univers et son ouverture sont en fait deux notions distinctes normalement. Quand nous parlons d'Univers fermé ou ouvert nous ne parlons normalement pas de sa topologie mais de son destin. Ainsi, un Univers ouvert s'expant indéfiniment et un Univers fermé se recontracte sur lui-même au bout d'un certain temps. Cela dit, dans les modèles que nous étudions dans ce chapitre (à constante cosmologique nulle), la courbure est directement liée à la densité, et donc à son ouverture.

Revenons à l'équation :

equation   (51.61)

Nous pouvons écrire :

equation   (51.62)

En adoptant la notation :

equation   (51.63)

Remarque: Les mesures actuelles donnent :

equation   (51.64)

D'où :

equation   (51.65)

Il convient maintenant pour nous de considérer trois situations:

equation   (51.66)

Remarque: Nous ne pouvons poser equation car dans nos hypothèses initiales se trouvait le principe de conservation de l'énergie.

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