ÉQUATIONS DE FRIEDMANN
1. Modèle cosmologique newtonien
1.1. Principe cosmologique
1.2. Loi de Hubble
1.3.1. Constante cosmologique
1.3.2. Densité critique
2. Modèles d'Univers de Friedmann-Lemaître
2.1. Modèle euclidien
4. L'Univers Trou Noir
Considérons maintenant un anneau sphérique de matière de rayon r et de masse constante m en expansion à la vitesse v , et contenant une boule de matière de masse M (elle aussi en expansion à la vitesse v).
Rappelons que selon le principe cosmologique, M et m n'ont
pas la même densité 
à
cause de la masse constante de l'Univers.
Nous pouvons appliquer à ce système la conservation de l'énergie mécanique car il est isolé (c'est d'ailleurs le seul vrai système isolé...). Nous obtenons alors l'équation :
(51.17)
où
est
une constante. En divisant par m chaque
membre et en remplaçant M par
son expression en fonction de la densité, nous obtenons :
(51.18)
Remarque: Si cela peut aider le lecteur pour comrpn
Or la loi de Hubble nous donne selon ce que nous avons vu plus haut:
(51.19)
et :
(51.20)
Nous obtenons:
(51.21)
que nous simplifions en:
(51.22)
Or,
sont
des constantes. Nous introduisons une nouvelle constante k définie
par (afin de simplifier les écritures) :
(51.23)
Nous obtenons donc l'équation :
(51.24)
qui est n'est d'autre que la "première équation de Friedmann".
Que nous retrouvons dans la littérature souvent sous la forme suivante (parmi tant d'autres...):
(51.25)
qui lui permettait de rendre statique
le facteur d'échelle de l'Univers. Nous (les auteurs du site)
rejetons cette constante arbitraire, même si dans la physique
contemporaine elle est revenue à la mode (sa valeur a été cependant
définie mathématiquement
plutôt que religieusement) car elle permettrait d'expliquer la
provenance de la matière sombre, les lois actuelle de notre Univers,
la période
inflationniste de notre Univers ainsi que sa géométrie. Ainsi,
l'équation
de Friedmann avec cette constante, qui est un total artifice de
travail, moderne s'écrit :
(51.26)
avec :
(51.27)
C'est Andreï Sakharov qui a défini la valeur de cette constante cosmologique qui s'apparenterait soit disant à l'énergie quantique du vide (fonction des champs de Higgs).
Deux idées guident les chercheurs de ce début de 21ème siècle : en physique quantique les équations du champ associées aux particules élémentaires servent à définir la théorie du Big Bang. La célèbre équation d'équivalence d'Einstein nous dit que l'énergie crée un champ gravitationnel comme l'électron en mouvement provoque un champ électromagnétique. Il découle de ces deux observations qu'en mesurant le champ gravitationnel nous avons un moyen de déterminer l'énergie du vide. Le champ gravitationnel ne concerne plus la matière mais bien la densité d'énergie du vide. Or la constante cosmologique est directement proportionnelle à la constante de la gravitation, G. Sa mesure est un jeu très dangereux car de sa valeur dépend plusieurs lois fondamentales de physique et des propriétés non négligeables quant à la dynamique de notre Univers. Le débat reste donc complètement ouvert et si nous (les auteurs du site) trouvons une démonstration valable et rigoureuse de cette constante, nous mettrons à disposition du lecteur les conséquences de cette constante sur les modèles que nous allons voir ci-après.
Utilisons maintenant le premier principe de la thermodynamique (cf. chapitre de Thermodynamique) pour un système par définition fermé dont la somme de l'énergie cinétique et potentielle est constante (et donc la somme des variations est nulle pour ces deux énergies). Nous avons alors la variation d'énergie totale qui n'est donnée que par la variation d'énergie interne (cas le plus courant en thermodynamique pour les objets macroscopiques):
(51.28)
et nous avons également vu dans le chapitre de Thermodynamique l'équation caractéristique du fluide à l'équilibre:
(51.29)
Si le système est adiabate (aucun transfert chaleur entre le système et l'extérieur), alors nous avons selon ce qui a été vue dans le chapitre de Thermodynamique:
(51.30)
Donc:
(51.31)
Puisque l'Univers est supposée sphérique dans notre modèle, nous avons:
(51.32)
et dans la référentiel matériel où les galaxies (particules du fluide cosmique) sont immobiles:
(51.33)
Soit:
(51.34)
ce qui se simplifie en:
(51.35)
en prenant la dérivée par rapport au temps cosmique t:
(51.36)
d'où:
(51.37)
Reprenons maintenant la première équation de Friedmann, obtenue plus haut, sous la forme:
(51.38)
et mettons la sous la forme suivante:
(51.39)
Si nous différencions:
(51.40)
Nous obtenons alors:
(51.41)
Injectons:
(51.42)
dans la relation:
(51.43)
Nous obtenons alors:
(51.44)
Soit:
(51.45)
La relation suivante:
(51.46)
est la "deuxième équation de Friedmann" appelée également "équation de Raychaudhuri".
DENSITÉ CRITIQUE
Revenons à notre première équation de Friedmann sans constante. En sachant que :
(51.47)
Nous obtenons :
(51.48)
qui se réarrange avec :
(51.49)
en :
(51.50)
L'exposant du terme de gauche impose que le terme de droite soit positif ou nul tel que :
(51.51)
Rappelons
que les conditions
initiales nous imposent qu'au temps 
nous
ayons :
et
(51.52)
Effectivement :
(51.53)
Il vient alors :
(51.54)
Ce
terme devrait être accessible à l'observation, hélas 
est
très mal connu et 
encore
plus. Autrement dit, compte tenu du signe "-" dans l'expression
de k,
nous ne connaissons aujourd'hui même pas le signe de cette constante.
Cependant, il peut-être
important de noter qu'il existe une valeur appelée
"densité critique"
qui annule k et donc aussi (voir plus haut):
(51.55)
soit, l'énergie totale de l'Univers serait nulle (selon des considérations
de la cosmologie quantique). Cette valeur de est
donc trivialement:
(51.56)
Pour
(valeur
actuelle) nous trouvons 
.
A titre de comparaison, un atome d'hydrogène pèse 
,
la densité critique correspondrait donc à 3 atomes d'hydrogène
par mètre cube.
Les
physiciens ont défini une constante (variant dans temps) notée
par la lettre grecque
et
appelée "paramètre de
densité
cosmologique" et
donnée par :
(51.57)
Il est intéressant de travailler avec cette constante car dans le cas où :
-
:
Nous avons :
(51.58)
ce
qui en remplaçant dans l'équation de Friedmann donne : 
(un
Univers plat comme nous le verrons dans notre étude du modèle relativiste).
-
:
En
effectuant le même raisonnement, et toujours en inégalités, nous
avons alors: 
(un
Univers à courbure positive (fermé) comme nous le verrons dans notre
étude du modèle relativiste).
-
:
En
effectuant le même raisonnement, mais en inégalités, nous avons
alors: 
(un
Univers à courbure négative (fermé) comme nous le verrons dans notre
étude du modèle relativiste).
(51.59)
R1. Toutes les mesures qui ont pu être faites jusqu'à présent n'ont pas permis de mettre en évidence une courbure de l'univers. Les mesures du rayonnement fossile par le ballon BOOMERANG et le satellite COBE tendent cependant à accréditer l'hypothèse d'un univers plat relativement aux simulations numériques :
(51.60)
R2. La notion de topologie de l'Univers et son ouverture sont en fait deux notions distinctes normalement. Quand nous parlons d'Univers fermé ou ouvert nous ne parlons normalement pas de sa topologie mais de son destin. Ainsi, un Univers ouvert s'expant indéfiniment et un Univers fermé se recontracte sur lui-même au bout d'un certain temps. Cela dit, dans les modèles que nous étudions dans ce chapitre (à constante cosmologique nulle), la courbure est directement liée à la densité, et donc à son ouverture.
Revenons à l'équation :
(51.61)
Nous pouvons écrire :
(51.62)
En adoptant la notation :
(51.63)
(51.64)
D'où :
(51.65)
Il convient maintenant pour nous de considérer trois situations:
(51.66)
car
dans nos hypothèses initiales se trouvait le principe de conservation
de l'énergie. page suivante : 2. Modèles d'Univers de Friedmann-Lemaître
