MODÈLE HYPERBOLIQUE (K<0)
1. Modèle cosmologique newtonien
1.1. Principe cosmologique
1.2. Loi de Hubble
1.3.1. Constante cosmologique
1.3.2. Densité critique
2. Modèles d'Univers de Friedmann-Lemaître
2.1. Modèle euclidien
4. L'Univers Trou Noir
Dans
ce modèle, nous considérons 
.
Donc l'équation à traiter peut s'écrire :
(51.99)
Ce qui s'écrit aussi :
(51.100)
Rappelons
que nous avions supposé pour
que
si
nous effectuons le changement de variable 
,
nous obtenons l'intégrale suivante :
(51.101)
Nous recherchons donc une primitive de :
(51.102)
et nous discuterons du signe ± après avoir trouvé la primitive.
Nous
effectuons encore un changement de variable en posant 
donc
ce
qui nous donne la primitive suivante à calculer:
(51.103)
en refaisant un changement de variable :
(51.104)
d'où à une constante multiplicative près :
(51.105)
nous avons :
(51.106)
Dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral nous avons vu que cette forme de primitive se résout par la relation (nous rajoutons la constante d'intégration à la fin car nous faisons de la physique et il faut satisfaire des conditions initiales auxquelles nous ne nous intéressions pas nécessairement en mathématique) :
(51.107)
avec :
(51.108)
d'où :
(51.109)
Il
nous faut encore calculer 
:
(51.110)
Enfin :
(51.111)
en
remettant en place tous les changements de variables et en introduisant
à nouveau la constante multiplicative, nous avons dans le cas où
:
(51.112)
Entre
les deux bornes d'intégration 
nous
avons donc (la constante d'intégration s'annule) :
(51.113)
Nous devons évidemment avoir (nous reprenons le ± qui se trouvait initialement dans l'intégrale) :
(51.114)
Si nous traçons cette fonction pour
une valeur fixe.
Nous avons le tracé suivant dans Maple (nous ne considérerons que
le cas avec le signe "-" car celui avec le signe "+"
n'a pas de sens physique même translaté) :
(51.115)
Nous voyons que plus la constante A est petite, plus l'Univers croit indéfiniment rapidement. De plus pour une valeur de k fixée, certaines valeurs de A sont interdites (il s'agit au toujours fait de la condition d'intégration).
Nous
voyons à nouveau que le critère 
est
naturellement parfaitement respecté. Toutes les valeurs de F(t) inférieures
à 1 sont à rejeter !
Nous
avons donc dans ce modèle hyperbolique un Univers qui croit indéfiniment
de façon exponentielle (comme le modèle plat de Friedmann-Lemaître)
car étant donné que 
,
il n'y a plus de condition limite d'intégration (contrairement
au modèle elliptique précédent).
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