MODÈLE HYPERBOLIQUE (K<0)



COURS DE COSMOLOGIE

1. Modèle cosmologique newtonien

1.1. Principe cosmologique

1.2. Loi de Hubble

1.3. Équations de Friedmann

1.3.1. Constante cosmologique

1.3.2. Densité critique

2. Modèles d'Univers de Friedmann-Lemaître

2.1. Modèle euclidien

2.2. Modèle sphérique

2.3. Modèle hyperbolique

2.4. Univers observable

3. Rayonnement fossile

4. L'Univers Trou Noir

Dans ce modèle, nous considérons equation. Donc l'équation à traiter peut s'écrire :

equation   (51.99)

Ce qui s'écrit aussi :

equation   (51.100)

Rappelons que nous avions supposé  pour equation que equation si nous effectuons le changement de variable equation, nous obtenons l'intégrale suivante :

equation   (51.101)

Nous recherchons donc une primitive de :

equation   (51.102)

et nous discuterons du signe ± après avoir trouvé la primitive.

Nous effectuons encore un changement de variable en posant equation donc equation ce qui nous donne la primitive suivante à calculer:

equation   (51.103)

en refaisant un changement de variable :

equation   (51.104)

d'où à une constante multiplicative près :

equation   (51.105)

nous avons :

equation   (51.106)

Dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral nous avons vu que cette forme de primitive se résout par la relation (nous rajoutons la constante d'intégration à la fin car nous faisons de la physique et il faut satisfaire des conditions initiales auxquelles nous ne nous intéressions pas nécessairement en mathématique) :

equation   (51.107)

avec :

equation   (51.108)

d'où :

equation   (51.109)

Il nous faut encore calculer equation:

equation  (51.110)

Enfin :

equation   (51.111)

en remettant en place tous les changements de variables et en introduisant à nouveau la constante multiplicative, nous avons dans le cas où equation:

equation   (51.112)

Entre les deux bornes d'intégration equationnous avons donc (la constante d'intégration s'annule) :

equation
  (51.113)

Nous devons évidemment avoir (nous reprenons le ± qui se trouvait initialement dans l'intégrale) :

equation   (51.114)

Si nous traçons cette fonction pour une valeur equation fixe. Nous avons le tracé suivant dans Maple (nous ne considérerons que le cas avec le signe "-" car celui avec le signe "+" n'a pas de sens physique même translaté) :

equation
  (51.115)

Nous voyons que plus la constante A est petite, plus l'Univers croit indéfiniment rapidement. De plus pour une valeur de k fixée, certaines valeurs de A sont interdites (il s'agit au toujours fait de la condition d'intégration).

Nous voyons à nouveau que le critère equation est naturellement parfaitement respecté. Toutes les valeurs de F(t) inférieures à 1 sont à rejeter !

Nous avons donc dans ce modèle hyperbolique un Univers qui croit indéfiniment de façon exponentielle (comme le modèle plat de Friedmann-Lemaître) car étant donné que equation, il n'y a plus de condition limite d'intégration (contrairement au modèle elliptique précédent).


page suivante : 2.4. Univers observable