MODÈLE SPHÉRIQUE (K>0)



COURS DE COSMOLOGIE

1. Modèle cosmologique newtonien

1.1. Principe cosmologique

1.2. Loi de Hubble

1.3. Équations de Friedmann

1.3.1. Constante cosmologique

1.3.2. Densité critique

2. Modèles d'Univers de Friedmann-Lemaître

2.1. Modèle euclidien

2.2. Modèle sphérique

2.3. Modèle hyperbolique

2.4. Univers observable

3. Rayonnement fossile

4. L'Univers Trou Noir

Dans ce modèle (appelé aussi parfois "modèle elliptique"), nous considérons equation. Donc l'équation à traiter reste :

equation   (51.76)

Ce qui s'écrit aussi :

equation   (51.77)

Rappelons que nous avions supposé  pour equation que equation si nous effectuons le changement de variable equation, nous obtenons l'intégrale suivante :

equation   (51.78)

Nous recherchons donc une primitive de :

equation   (51.79)

et nous discuterons du signe ± après avoir trouvé la primitive.

Nous effectuons encore un changement de variable en posant equation donc equation ce qui nous donne la primitive suivante à calculer :

equation   (51.80)

en refaisant un changement de variable :

equation   (51.81)

d'où à une constante multiplicative près :

equation   (51.82)

nous avons :

equation   (51.83)

Dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral nous avons vu que cette forme de primitive se résout par la relation (nous rajoutons la constante d'intégration à la fin car nous faisons de la physique et il faut satisfaire des conditions initiales auxquelles nous ne nous intéressions pas nécessairement en mathématique) :

equation   (51.84)

avec :

equation   (51.85)

d'où :

equation   (51.86)

Il nous faut encore calculer equation:

equation   (51.87)

Enfin :

equation   (51.88)

en remettant en place tous les changements de variables et en introduisant à nouveau la constante multiplicative, nous avons dans le cas où equation:

equation   (51.89)

Entre les deux bornes d'intégration equationnous avons donc (la constante d'intégration s'annule et nous reprenons le ± qui se trouvait initialement dans l'intégrale) :

equation   (51.90)

Rappel : La théorie nous impose equation

Si nous traçons cette fonction pour une valeur equation fixe. Nous avons le tracé suivant dans Maple (nous ne considérerons que le cas avec le signe "-" ci-dessous pour l'instant car le signe "+" nous donnerait un tracé dans les différentiels de temps négatifs : equation) :

equation
  (51.91)

Remarque: Le temps est toujours représenté sur l'axe vertical ainsi que pour tous les diagrammes suivants (il vous faut tourner un peu la tête si habituellement vous mettez le temps sur l'axe des abscisses...).

Nous voyons que plus la constante A est petite, plus l'Univers arrive rapidement à une valeur finale. De plus pour une valeur de k fixée, certaines valeurs de A sont interdites (c'est à cause de la condition d'intégration).

En fixant une valeur de A, nous obtenons la représentation bidimensionnelle suivante :

equation
  (51.92)

Si nous effectuons un zoom au niveau equation, nous avons :

equation
  (51.93)

Nous voyons que le critère equation est parfaitement et naturellement respecté sans introduction d'une quelconque constante. Il suffit par ailleurs de remplacer F par 1 dans l'équation que nous avons obtenue pour voir que nous trouvons equation.

Remarque: Comme nous l'avons déjà précisé, toutes les valeurs de equation inférieures à 1 sont à rejeter!

Analysons l'avant-dernier tracé en rappelant que :

equation   (51.94)

Une condition limite (condition d'intégration) pour que le terme de droite de l'égalité soit positif est que :

equation ou equation   (51.95)

Donc, si equation est plus petit que equation, nous ne somme plus dans un domaine valable (réel) du modèle.

Il faut donc que :

equation ou equation   (51.96)

Cette limite a été présentée par une ligne verticale bleue sur l'avant-dernier diagramme. Nous y avons également représenté par une ligne horizontale verte la limite temporelle temps equation correspondante equation.

Au fait, au-delà de cette limite temporelle, ce que ne sait pas l'ordinateur qui a tracé notre fonction, c'est qu'il devrait basculer sur la fonction d'échelle avec le signe "+". Ainsi, lorsque nous exécutons le tracé des deux fonctions avec les bornes adéquates :

equation   (51.97)

nous obtenons alors (le temps est représenté sur l'axe vertical!) :

equation
  (51.98)

Nous voyons que alors que pour equation l'Univers entre dans une phase de contraction que nous appelons communément "Big Crunch". Après cette phase de rétraction, il est possible soit que l'Univers disparaisse totalement, soit qu'il entre à nouveau dans un phase dynamique cyclique (mathématiquement les deux issues sont possibles).


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