UNIVERS DE FRIEDMANN-LEMAITRE



COURS DE COSMOLOGIE

1. Modèle cosmologique newtonien

1.1. Principe cosmologique

1.2. Loi de Hubble

1.3. Équations de Friedmann

1.3.1. Constante cosmologique

1.3.2. Densité critique

2. Modèles d'Univers de Friedmann-Lemaître

2.1. Modèle euclidien

2.2. Modèle sphérique

2.3. Modèle hyperbolique

2.4. Univers observable

3. Rayonnement fossile

4. L'Univers Trou Noir

Le modèle euclidien Friedmann-Lemaître consiste dans la limite newtonienne à étudier "l'équation fondamentale des modèles de Friedmann":

equation   (51.67)

en considérant les trois situations:

equation   (51.68)

Remarque: Il est possible dans le cadre de la relativité générale de trouver rigoureusement une solution aux équations d'Einstein des champs appelée "métrique de Robertson-Walker" qui dans le cas d'une approximation newtonienne nous redonne les équations de Friedmann obtenues dans le présent texte (souvent ce sont ces approximation qui sont utilisées dans la littérature car la solution exacte est hors de portée du cadre des cours universitaires).

ESPACE EUCLIDIEN (K=0)

Le modèle d'espace euclidien consiste à supposer que equation. Autrement dit, nous sommes dans un Univers dont la densité est dite "densité critique" ou également simplement "plat" (comme nous le verrons avec le modèle relativiste).

Nous avons alors l'équation :

equation   (51.69)

En disposant les termes de manière adéquate :

equation   (51.70)

et en intégrant, il vient :

equation   (51.71)

Qui se simplifie en (nous élevons au carré d'où la suppression du double signe ±):

equation   (51.72)

Nous avons donc dans ce modèle la relation :

equation   (51.73)

à laquelle il nous faut rajouter une constante pour avoir la condition equation qui reste satisfaite :

equation   (51.74)

Ce qui nous donne sur un tracé (nous avons représenté une échelle arbitraire du temps sur l'axe vertical) une fonction à l'allure suivante (ne pas se fier aux valeurs indiquées elles sont arbitraires) :

equation
  (51.75)

Nous avons mise la zone où equation en évidence pour bien rappeler que cette partie de la solution est à rejeter.

Nous avons donc un modèle d'Univers dont le facteur d'échelle croit de façon exponentielle et et ce indéfiniment.

Remarque: Plus equation est grand, plus la croissance du facteur d'échelle est grand (sous-entendu que la pente est bien évidemment plus grande).

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