Cours d'astronomie : mécanique céleste



Cours de mécanique céleste

1. Equation de Drake

2. Lois de Kepler

2.1. Première loi de Kepler (loi des orbites)

2.2. Deuxième loi de Kepler (loi des aires)

2.3. Troisième loi de Kepler (loi des périodes)

3. Loi de la gravitation de Newton

3.1. Equation de Newton-Poisson

3.2. Sphérisation des corps célestes

3.2.1. Aplatissement des corps célestes

3.3. Stabilité des atmosphères

3.4. Limite de Roche

4. Trajectoires d'orbitales képleriennes

4.1. Période d'orbitale képlerienne

4.2. Déflexion classique de la lumière

4.3. Précession du périhélie

5. Durée de l'arc diurne

6. Points de Lagrange

6.1. Positions d'équilibre du premier type

6.1.1. Point L1 de Lagrange

6.1.2. Point L2 de Lagrange

6.1.3. Point L3 de Lagrange

6.2. Positions d'équilibre du deuxième type

6.2.1. Point L4,L5 de Lagrange

La mécanique céleste est la conséquence de la loi d'attraction universelle de Newton et du principe fondamental de la mécanique (cf. chapitre de Mécanique Classique), elle a pour principal objectif la description du mouvement d'objets astronomiques tels que les étoiles et planètes à l'aide des théories physiques et mathématiques.

Nous allons dans ce chapitre aborder le sujet, comme toujours sur ce site, de la manière la plus élémentaire possible.

D'abord, nous nous échaufferons avec une loi sympathique sur le vivant dans l'Univers... (l'équation de Drake). Une fois cet exercice de style accompli, nous commencerons à "énumérer" les lois de Kepler (en faisant souvent référence au chapitre de Mécanique Classique) pour ensuite étudier en détail les propriétés des orbitales képlériennes à l'aide de la mécanique et ensuite à l'aide de la relativité restreinte, ce qui nous amènera à constater une précession théorique des orbitales concernées. Ensuite, nous nous amuserons à modéliser approximativement la variation de la durée de la journée (et de la nuit) sur la Terre en fonction du mois et de la latitude. Enfin, pour terminer en beauté, nous nous lancerons dans le calcul détaillé des cinq points de Lagrange!

équation de Drake

Cette équation a été inventée (...) par F. Drake dans les années 1960 dans l'intention d'estimer le nombre de civilisations extra-terrestres dans notre galaxie avec qui nous pourrions entrer en contact. Le principal objet de cette équation pour les scientifiques est de déterminer ses facteurs, afin de connaître le nombre probable et (très) estimé de civilisations extraterrestres.

Cette équation empirique (qui reste un amusement... et dont le principe peut être appliqué à pas mal de domaines différents de la physique et de la vie...) s'écrit:

equation   (47.1)

Les termes de cette formule (car s'en est une!) se définissent ainsi:

- equation représente le nombre d'étoiles dans une seule et unique galaxie

- equation est le nombre d'étoiles qui auraient une planète en orbite

- equation est le nombre de planètes par étoile qui remplissent les conditions au développement de la vie

- equation est la fraction de planètes dont la vie s'est effectivement développée (compris entre 0 et 1)

- equation est la fraction de celles ou une vie intelligente s'est développée (compris entre 0 et 1)

- equation est la fraction equation qui a mis en oeuvre des moyens de communication radio (compris entre 0 et 1)

- equationest la fraction de temps pendant laquelle les civilisations equation vivront (compris entre 0 et 1)

Dans la pratique, il faut remarquer que l'équation consiste à essayer de déterminer une quantité inconnue à partir d'autres quantités qui sont tout aussi inconnues qu'elles..... Mais c'est une équation sympa à sortir et à évaluer entre amis pour passer le temps...

Il n'existe donc pas de garantie que l'on soit davantage fixé après cette estimation qu'avant (argument nommé parfois dans la littérature "garbage in, garbage out"...).

La valeur résultante peut motiver que les développements qui vont suivre ne sont pas applicables qu'à un seul système solaire dans l'Univers.... peut-être... (cela ferait beaucoup de vide gâché sinon...).

LOIS DE KEPLER

En astronomie, les lois de Kepler décrivent les propriétés principales du mouvement des planètes autour d'un astre principal, sans les expliquer (à l'époque!). Elles ont été découvertes par Johannes Kepler à partir des observations et mesures (en quantité phénoménale) de la position des planètes faites par Tycho Brahé, mesures qui étaient très précises pour l'époque.

Les deux premières lois de Kepler furent publiées en 1609 et la troisième en 1618. Les orbites elliptiques, telles qu'énoncées dans ses deux premières lois, permettent d'expliquer la complexité du mouvement apparent des planètes.

Peu après, Isaac Newton découvrit en 1687 la loi de l'attraction gravitationnelle (ou gravitation), induisant celle-ci, par le calcul, les 3 lois de Kepler.

Nous allons maintenant nous efforcer à présenter ces lois de la manière la plus pertinente possible :

PREMIÈRE LOI

La "première loi de Kepler", appelée parfois aussi "loi de conicité" ou encore "loi des orbites" s'énonce ainsi : Les orbites des planètes sont des coniques (ellipses) dont le Soleil occupe l'un des foyers.

Au fait, il convient de préciser que ce n'est pas vraiment une "loi" dans le sens propre du terme puisque plus loin vous en trouverez la démonstration telle que :

equation   (47.2)

Remarque: Le lecteur qui aura lu au préalable le chapitre de Géométrie Analytique ne sera pas étranger à cette relation...

DEUXIÈME LOI

La "deuxième loi de Kepler", appelée parfois aussi "loi des aires", nous dit que le segment qui joint une planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux (vitesse aréolaire constante) tel que :

equation   (47.3)

C'est une relation qui découle de la conservation du moment cinétique comme nous l'avons déjà démontré dans le chapitre de Mécanique Classique. Donc à nouveau, son statut de "loi" est discutable dans le langage de la physique moderne!

Par ailleurs, rappelons que nous avions aussi obtenu comme résultat que le mouvement est et reste plan sans aucune action extérieure!

Nous constatons par ailleurs que cette loi nous donne que la vitesse de la planète est variable. Elle est plus grande au périhélie qu'à l'aphélie :

equation
  (47.4)

Ceci se vérifie pour la Terre par exemple. En effet cette dernière est plus proche du Soleil en hiver (pour l'hémisphère Nord) et elle a alors une vitesse sur trajectoire un peu plus élevée qu'en été; le temps de parcours est donc plus faible (l'hiver compte moins de jours que les autres saisons).

TROISIÈME LOI

La "troisième loi de Kepler", appelée parfois aussi "loi des périodes", s'énonce ainsi : Les carrés des périodes de révolution T sont proportionnels aux cubes des demi-grands axes D des orbites:

equation   (47.5)

A nouveau, nous verrons plus loin que le statut de "loi" n'est plus justifiable à notre époque puisqu'il est possible de démontrer cette relation dont l'expression sera détaillée un tout petit peu plus loin comme étant réellement :

equation   (47.6)

Bien évidemment, Kepler n'a pas d'emblée publié ses trois lois dans cette provocante simplicité. Leur ordre actuel n'est d'ailleurs pas celui de leur énonciation... Elles sont en réalité à dénicher au milieu d'un foisonnement de spéculations physiques et de réflexions sur l'harmonie du monde.

LOI DE LA GRAVITATION DE NEWTON

Pour vérifier l'exactitude de son hypothèse, Newton (relativement longtemps après) retrouva les lois de Kepler à partir de la loi de la gravitation, donnant ainsi l'explication du mouvement général des planètes.

Newton considéra pour déterminer la loi de gravitation une planète théorique, gravitant autour du Soleil sur une orbite circulaire à vitesse constante v. Pendant une orbite complète, la planète parcourt une distance égale à la circonférence du cercle de rayon R, soit equation, en un temps (sa période) égal à cette distance divisée par sa vitesse, soit:

equation   (47.7)

Newton s'appuie ensuite sur la troisième loi de Kepler avec toujours l'hypothèse d'une orbite circulaire.

Nous avons donc:

equation   (47.8)

mais puisque :

equation alors equation    (47.9)

en enchaînant :

equation et equation   (47.10)

Nous posons maintenant que equation divisé par la constante est une nouvelle constante (que nous noterons de la même manière que la première bien qu'elle ne lui soit pas égale) tel que :

equation d'où equation   (47.11)

Ensuite, nous renversons les termes, cette expression devient (tout en notant que l'inverse de la constante d'origine est elle aussi une constante):

equation   (47.12)

Par un autre calcul nous avons déjà établi dans le chapitre de Mécanique Classique l'expression de la force centrifuge:

equation   (47.13)

en rapprochant cette expression à l'expression précédente :

equation    (47.14)

nous obtenons :

equation   (47.15)

Il existerait donc une force opposée à la force centrifuge qui maintient la cohésion orbitale et qui s'écrit:

equation   (47.16)

reste à déterminer la valeur de la constante!

Il est trivial que la masse centrale M du système orbital doit intervenir d'une façon ou d'une autre dans cette constante. Si la masse du corps secondaire intervient de façon proportionnelle dans la force centrifuge, l'envie est grande de faire de même avec la masse du corps central. Donc:

equation   (47.17)

maintenant a priori il n'y aurait plus de paramètres à prendre en compte. La constante restante est là pour satisfaire à l'analyse dimensionnelle de telle façon que l'on ait des "Newtons" (nom donné à l'unité de force) des deux côtés de l'égalité. Les scientifiques ont déterminé avec grande précision cette "constante gravitationnelle" notée G qui a priori semble universelle et qui a comme valeur :

equation   (47.18)

Ce qui nous amène à écrire la "loi de la gravitation de Newton" :

equation   (47.19)

Evidemment il ne s'agit nullement d'une vraie démonstration car nous nous sommes basés sur les observations expérimentales de Kepler. Par contre à partir de la relativité générale il est possible de la démontrer (sous certaines hypothèses...)!

Remarque: En égalisant force centrifuge et force gravitationnelle il est assez facile d'obtenir une approximation de la vitesse de rotation des planètes sur leur orbite. Le lecteur qui fera le calcul verra que le chiffre tourne pour les planètes du système solaire une vitesse de l'ordre de 100'000 [km/h]

A partir de cette dernière relation, revenons brièvement sur notre troisième loi de Kepler et détaillons là un peu pour montrer qu'elle est valable pour tout type d'orbite conique et afin de déterminer sa l'expression de sa constante.

Exprimée dans le repère de Frenet (cf. chapitre Géométrie Différentielle), et décomposée en son accélération normale (centripète) et tangentielle, l'accélération par rapport à un référentiel géocentrique (dans le cas d'un référentiel situé au centre de masse du système l'expression change un peu) s'écrit :

equation   (47.20)

Des relations obtenues lors des développements précédents :

equation et equation   (47.21)

la constante de la troisième loi de Kepler prend comme valeur :

equation   (47.22)

Or, puisque :

equation   (47.23)

alors :

equation   (47.24)

d'où :

equation   (47.25)

Finalement la troisième loi de Kepler se retrouve alors fréquemment dans la littérature sous la forme suivante :

equation   (47.26)

Cet interlude effectué, revenons sur notre loi de la gravitation de Newton :

equation   (47.27)

A partir de cette loi de la gravitation, nous pouvons retrouver toutes les lois de Newton. D'ailleurs nous l'avons déjà fait pour la deuxième et troisième loi de Newton puisque ce sont ces dernières que nous avons utilisé pour obtenir cette relation (c'est cependant un peu le serpent qui se mange la queue...).

Sous forme vectorielle nous avons ainsi :

equation   (47.28)

Identiquement au champ électrique (cf. chapitre d'Électrostatique), nous pouvons développer:

equation   (47.29)

Comme le champ électrique dérive d'un potentiel électrique, identiquement, le champ gravitationnel dérive lui aussi d'un potentiel gravitationnel. En effectuant le même développement qu'en électromagnétisme pour la première équation de Maxwell (cf. chapitre d'Électrodynamique), nous démontrons que:

equation   (47.30)

equation est le "potentiel gravitationnel" et qui varie en raison inverse de la distance relative des corps (ceci confirmant ce que nous avions démontré lors de notre étude du théorème de Noether dans le chapitre traitant des Principes) et vaut donc :

equation

Remarque: Nous retrouverons souvent ce potentiel dans le chapitre de Relativité Générale. Il convient donc de s'en souvenir si possible.

Ecriture qui implique bien évidemment la relation suivante:

equation   (47.31)

Remarque: Evidemment en l'absence de champ nous avons equationet donc  equation sera nul.

Comme en électromagnétisme à nouveau, nous démontrons comme nous l'avons fait pour la première équation de Maxwell que:

equation   (47.32)

Si nous exprimons cette équation en fonction d'un potentiel gravitationnel equation (noté aussi souvent par la lettre U comme en Électrostatique...), nous obtenons :

equation   (47.33)

ce que l'on note de façon plus esthétique avec le laplacien scalaire :

equation   (47.34)

qui n'est d'autre que "l'équation de Newton-Poisson" que nous retrouverons aussi lors de notre étude de la relativité générale (elle y a une place importante pour des raisons de validation de la théorie d'Einstein)!

Cette équation signifie que la théorie newtonienne de la gravitation se résume à dire que le champ gravitationnel est décrit par un seul potentiel equation engendré par la densité volumique de masse et déterminant l'accélération d'une particule d'épreuve plongée dans le champ extérieur equation.

Amusons nous maintenant un peu avec l'équation de la gravitation de Newton pour obtenir quelques résultants intéressants et curieux :

Soit r la distance d'un objet du centre à l'extérieur de la Terre nous avons :

equation    (47.35)

il vient :

equation   (47.36)

à la surface de la Terre de rayon R nous avons:

equation   (47.37)

Des deux dernières relations il vient donc:

equation   (47.38)

En surface nous avons donc (on s'y attendait...) :

equation   (47.39)

Maintenant, à l'intérieur de la Terre en notant la distance par rapport au centre par la lettre r et la masse centrale par M ', nous avons :

equation   (47.40)

Introduisons la masse volumique equation que nous supposerons égale partout.

equation   (47.41)

En combinant ces quatre dernières relations nous obtenons :

equation

equation
  (47.42)

Pour de nombreuses personnes ce résultat est assez contre intuitif (faites un petit sondage dans votre entourage vous verrez).

SPHÉRISATION DES CORPS CÉLESTES

A l'aide de la loi de Newton nous pouvons répondre à pas mal de questions pertinentes de manière approximative et nous donnant des résultats tout à fait probants.

Un premier exemple et de se demander à quelle échelle il y a une transition du domaine des formes (les astéroïdes, lunes de Mars, comètes, etc.) au domaine des sphères (planètes et grandes lunes)? Pourquoi les satellites de Mars, Phobos et Deimos, ont une forme patatoïde tandis que notre lune est à peu près sphérique. Nous allons voir que ceci est dû à la masse qui est plus important dans le cas de notre lune. Effectivement, à partir d'une certaine masse, les formes géométriques quelconques ne sont plus possibles.

Pour aborder cette étude nous allons d'abord estimer la hauteur maximale d'une montagne sur une planète. Le Mont Everest a une altitude de 8.8 [km] tandis que le Mont Olympus sur Mars est de 27 [km]. Pourquoi de telles montagnes ne peuvent existe sur Terre?

Pour prendre une approche simpliste, nous allons supposer qu'une montagne doit être en équilibre hydrostatique. Nous connaissons expérimentalement la pression limite type dans un réseau cristallin de roches au delà de laquelle les roches commencent à "couler" : equation.

Nous connaissons de par notre étude la mécanique des milieux continus (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus) que la pression à la base d'une montagne de hauteur h sera donnée dans l'approximation hydrostatique :

equation   (47.43)

Pour que la montagne soit stable, il faut donc que :

equation et donc equation   (47.44)

Ainsi :

equation   (47.45)

En supposant une densité moyenne de equation (croûte continentale de la Terre) nous obtenons :

- Terre : equation

- Mars : equation

Ce qui est remarquable comme résultat approximatif...

Pour estimer la taille minimale equation d'un astre, à partir de laquelle la forme sphérique devient prédominante par rapport aux déformations de la surface (c'est-à-dire :où la gravitation a pris le dessus sur les forces interatomique) , nous allons exiger que la taille equation soit supérieure à la hauteur maximale d'une montagne equation. Nous supposons aussi que la densité equation reste constante à travers l'astre. En reprenant la relation :

equation   (47.46)

nous avons :

equation   (47.47)

d'où :

equation   (47.48)

La limite equation peut ensuite être estimée en fixant equation ainsi :

equation   (47.49)

bien évidemment pour equation nous serons encore plus proche de la forme sphérique.

APLATISSEMENT DES CORPS CÉLESTES

A cause de la symétrie du potentiel gravitationnel une étoile ou une planète devrait avoir une forme parfaitement sphérique à partir d'une certaine taille comme nous venons de le voir. Or, il n'est pas ainsi.

Dû à la rotation propre de l'astre, un terme centrifuge vient de modifier le potentiel, ce terme dépend de la latitude ce qi explique la forme ellipsoïdale.

Rappelons que :

equation   (47.50)

R est le rayon équatorial de l'astre à laquelle vient s'ajouter l'accélération centrifuge à une latitude donnée de rayon r :

equation   (47.51)

Ainsi l'accélération totale :

equation   (47.52)

explique simplement que la Terre est aplatie aux pôles (ou selon le point de vue : étirée à l'équateur...) et que plus une planète tourne vide, plus elle sera aplatie aux pôles.

Sur Terre, le rayon équatorial est de 6379 [km] tandis que le rayon polaire est de 6357 [km]. La différence est de 22 [km]. "L'aplatissement" d'une planète peut être exprimé comme :

equation   (47.53)

soit la différence entre rayon équatorial et le rayon polaire divisé par le rayon équatorial.

Bien qu'un ellipsoïde de révolution soit la meilleure description pour la forme d'une planète :

equation
  (47.54)

il y a des imperfections entre le modèle et la réalité pour certains corps du système solaire (en particulier les planètes telluriques, les satellites, et les petits corps rocheux). Le géopotentiel d'une planète réelle peut avoir une forme nettement plus compliquée à cause des influences des inhomogénéités visibles de la surface comme l'atteste cette image satellite de la Terre omettant les parties liquides (les déformations ont été un peu exagérées sur l'image ci-dessous) :

equation
  (47.55)

Les géodésistes tiennent compte de ces inhomogénéités. Ils mesurent et décrivent la forme des planètes qu'ils appellent "géoïdes".

STABILITÉ DES ATMOSPHÈRES

En comparant les vitesses de libération et les vitesses de divers gaz, nous pouvons expliquer la stabilité de certaines atmosphères et l'inexistence d'autres. Nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique Classique que la vitesse de libération d'un astre sphérique était donnée par la relation suivante (sur laquelle nous reviendrons aussi dans le chapitre de Relativité Générale):

equation   (47.56)

Pour la Terre, une application numérique donne equation et pour la Lune equation.

Nous pouvons à l'aide des développements effectués dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus lors de notre détermination de la température cinétique. Rappelons que nous y avions démontré la relation suivante :

equation   (47.57)

En utilisant la masse molaire (cf. chapitre de Chimie Thermique) :

equation   (47.58)

Une application numérique donne pour l'azote equation et pour l'hydrogène equation avec une température arbitraire de 300 [°K].

Donc l'azote est nettement piégé dans l'atmosphère terrestre. L'hydrogène, gaz léger, donc rapide l'est moins. Les deux gaz sont encore moins retenus par la Lune.

Remarque: En fait, la vitesse quadratique moyenne n'est pas la vitesse unique des molécules. Il y a une distribution des vitesses. Nous avons effectivement vu que la distribution de Maxwell-Boltzmann d'un gaz à l'équilibre dans le chapitre de Mécanique Statistique.

LIMITE DE ROCHE

La limite de Roche est la distance théorique en dessous de laquelle un satellite commencerait à se disloquer sous l'action des forces de marée causées par le corps céleste autour duquel il orbite, ces forces dépassant la cohésion interne du satellite.

Nous pouvons simplifier le problème en considérant le satellite liquide et en le décomposant en deux petites masses m de rayon r et de masse volumique equation.

Schéma
  (47.59)

La planète est une sphère de rayon R, de masse M, de masse volumique equation, située à une distance D du satellite.

La planète exerce sur le satellite une attraction gravitationnelle :

equation   (47.60)

La différence de force entre les 2 masses est :

equation   (47.61)

Nous pouvons considérer equation, ce qui donne :

equation   (47.62)

Donc la différence de force est

equation   (47.63)

La force de cohésion du satellite résulte dans l'attraction gravitationnelle entre les 2 masses :

equation   (47.64)

Le satellite est détruit si la différence de force entre les 2 masses est supérieure à la force de cohésion

equation   (47.65)

Or nous avons les relations :

equation et equation   (47.66)

donc nous obtenons :

equation   (47.67)

et nous en déduisons la "limite de Roche" :

equation   (47.68)

Comme, dans ce calcul, nous avons considéré un satellite constitué de deux masses ponctuelles, et que de plus nous avons considéré que la cohésion du satellite était assurée exclusivement par les interactions gravitationnelles, cette valeur n'est qu'un ordre de grandeur (un minimum donc!).


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