DURÉE DE L'ARC DIURNE
1. Equation de Drake
2. Lois de Kepler
2.1. Première loi de Kepler (loi des orbites)
2.2. Deuxième loi de Kepler (loi des aires)
2.3. Troisième loi de Kepler (loi des périodes)
3. Loi de la gravitation de Newton
3.1. Equation de Newton-Poisson
3.2. Sphérisation des corps célestes
3.2.1. Aplatissement des corps célestes
3.3. Stabilité des atmosphères
3.4. Limite de Roche
4. Trajectoires d'orbitales képleriennes
4.1. Période d'orbitale képlerienne
4.2. Déflexion classique de la lumière
4.3. Précession du périhélie
6.1. Positions d'équilibre du premier type
6.1.1. Point L1 de Lagrange
6.1.2. Point L2 de Lagrange
6.1.3. Point L3 de Lagrange
6.2. Positions d'équilibre du deuxième type
6.2.1. Point L4,L5 de Lagrange
Nous allons nous intéresser à la durée du jour, plus exactement à la portion de journée où nous sommes éclairés par le soleil, par rapport à la nuit où nous nous trouvons dans l'ombre.
Dans la réalité, la Terre tourne autour du soleil et décrit une orbite presque circulaire en même temps elle tourne sur elle-même autour de son axe qui est incliné d'environ 23°27' sur le plan de son orbite (l'écliptique).
(47.182)
Rappelons que la précession est le changement graduel d'orientation de l'axe de rotation d'un objet quand un couple (de force) lui est appliqué alors que la nutation est un balancement périodique de l'axe de rotation de la Terre autour de sa position moyenne en plus de la précession.
Représentons la Terre avec son axe de rotation vertical; en conséquence l'équateur sera situé dans un plan horizontal.
Supposons que ce jour-là, la Terre soit dans une position telle
que les rayons du soleil forment un angle 
avec
le plan de l'équateur (ou que réciproquement la Terre forme un
angle avec le plan de l'équateur). Remarquons que cet angle sera
toujours compris selon les mesures actuelles entre -23°27' et +
23°27'.
Pour que les choses soient plus gaies, nous avons choisi de faire
notre analyse sur un jour où est
positif. Ainsi, dans l'hémisphère nord nous sommes proches du solstice
d'été !
Nous chercherons donc durée du jour à un endroit situé à une
latitude 
?
Pour fixer les idées, plaçons-nous dans les environs de Bruxelles à 50° de
latitude Nord.
Considérons maintenant les figures ci-dessous où la première
correspond à une vue de la Terre de côté à un instant t de
son orbite lorsque 
et
la seconde à une coupure cylindrique de rayon NJ (correspond
au rayon du parallèle de Bruxelles) du volume de la Terre à ce
même instant :
(47.183)
Sur les figures ci-dessus, C désigne le centre de la Terre, et O le centre du parallèle de Bruxelles.
Fixons un instant t et désignons par M (matin) et S (soir) les deux points du parallèle de Bruxelles où le soleil se lève et se couche (ces points seront considérés comme fixes quelque soit t pour l'instant, ce qui est bien évidemment erroné par rapport à la réalité), tandis que J (jour) et N (nuit) seront ceux où il est respectivement midi et minuit.
P sera le point sur le disque correspondant au parallaxe de Bruxelles où le plan du méridien de midi (le plan dont un des côtés est NJ) coupe la droite MS.
Enfin, 
désignera
l'angle 
(où O est
donc le centre du disque généré par le parallèle de Bruxelles)
qui sous-tend la partie éclairée par le Soleil et r désignera
le rayon 
.
Pour simplifier le problème, supposons que pendant 24 heures la Terre tourne sur elle-même sans modifier la position de son axe de rotation par rapport au Soleil.
L'angle peut
se calculer en remarquant que OP vaut, en valeur absolue
:
(47.184)
où r représente le rayon du parallèle de Bruxelles.
Or, en utilisant les propriétés des fonctions trigonométriques (cf. chapitre de Trigonométrie). Nous avons :
(47.185)
Or, il nous faut encore injecter le paramètre . Connaissant
la latitude de
Bruxelles, nous avons :
(47.186)
où R est le rayon de la Terre.
Nous avons aussi :
(47.187)
et dans le triangle COP :
(47.188)
Enfin, en comparant les valeurs obtenues pour PO, nous obtenons :
(47.189)
et comme :
(47.190)
Nous obtenons finalement :
(47.191)
et donc :
(47.192)
Aux équinoxes (c'est-à-dire quand l'équateur est confondu avec
le plan de l'écliptique), nous avons 
et
donc :
(47.193)
Or, comme nous l'avons spécifié au début, il faut prendre la valeur absolue donc :
(47.194)
En d'autres, quelque soit la latitude que nous prenons, l'angle
formé par la zone de nuit est égale à l'angle formé par la zone
de jour (les deux étant égal à 
).
Prenons maintenant le solstice d'été, lorsque 
en
considérant toujours la latitude de Bruxelles 
,
nous avons :
(47.195)
ce qui, traduit en nombre d'heures :
(47.196)
soit environ 
En résumé pour calculer la durée du jour, il suffit de connaître deux choses: la latitude du lieu et l'angle selon lequel le soleil tombe sur le plan de l'équateur à la date choisie. La valeur de cet angle est bien connue aux équinoxes (il vaut 0°) et aux solstices (il vaut +23°27' et -23°27').
Mais aux autres dates ?
La réponse est fort simple. Imaginons-nous, assis sur le Soleil regardant tout au long de l'année en direction du centre de la Terre.
Au cours de sa rotation autour du Soleil, l'axe de rotation de la Terre conserve son inclinaison sur l'écliptique. Vu du Soleil, cet axe tournera autour d'une normale au plan de l'écliptique et décrira donc un cône dont le demi-angle au sommet vaut 23°27' (voir figure plus bas).
L'angle d'attaque des
rayons solaires sur le plan de l'équateur variera donc en fonction
de la date 
(nous
associons à la date, l'angle parcouru
par la Terre sur son orbite, à partir de sa position à l'équinoxe
de printemps)
Par conséquent l'angle variera
en fonction de la date de
manière sinusoïdale.
Pour ceux qui ne seraient pas convaincus par ce raisonnement semi-intuitif, voici une autre approche :
Pour la lisibilité du schéma, nous avons fortement exagéré l'angle formé par l'axe de rotation de la Terre avec l'écliptique.
(47.197)
Soit C le centre de la Terre, A l'extrémité d'un
vecteur unité 
dirigé suivant
l'axe de rotation de la Terre (soit perpendiculaire au plan de
l'équateur) et 
un
autre vecteur unité dirigé vers le Soleil. Soit maintenant l'angle
du rayon CS avec le plan de l'équateur et 
l'angle
entre les vecteurs unitaires et .
Nous avons alors :
(47.198)
Effectivement, le vecteur étant
perpendiculaire au plan de l'équateur il forme un angle droit avec
celui-ci dès lors puisque l'angle est
l'angle entre ce vecteur et l'écliptique en
est le complémentaire.
Nous avons donc :
(47.199)
Décomposons maintenant en
la somme de 
dirigé perpendiculairement
au plan de l'écliptique et de 
situé dans
le plan de l'écliptique :
(47.200)
Ainsi :
(47.201)
Mais :
(47.202)
Donc finalement :
(47.203)
et comme nous avons démontré que :
(47.204)
Nous obtenons finalement :
(47.205)
A présent le problème est résolu et la durée du jour sera fonction
de deux variables: la date et
la latitude .
Il nous suffit donc maintenant de reprendre la relation :
(47.206)
et d'y injecter le nouveau résultat :
(47.207)
Avec les outils informatiques à notre disposition, nous pouvons
aisément calculer la valeur de .
Nous avons par exemple ci-dessous les variations de la durée du
jour sur une année à des latitudes allant de 0 à 90° réparties
de 10 en 10°
(47.208)
A partir de la latitude du cercle polaire, nous observons, en été, des périodes avec soleil ininterrompu (soleil de minuit) et, en hiver, des journées entières de nuit.
Pour Bruxelles (latitude=50°) nous voyons sur le graphique que la durée du jour varie approximativement entre les valeurs de 16h (solstice d'été) et 8h (solstice d'hiver).
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