DURÉE DE L'ARC DIURNE



Cours de mécanique céleste

1. Equation de Drake

2. Lois de Kepler

2.1. Première loi de Kepler (loi des orbites)

2.2. Deuxième loi de Kepler (loi des aires)

2.3. Troisième loi de Kepler (loi des périodes)

3. Loi de la gravitation de Newton

3.1. Equation de Newton-Poisson

3.2. Sphérisation des corps célestes

3.2.1. Aplatissement des corps célestes

3.3. Stabilité des atmosphères

3.4. Limite de Roche

4. Trajectoires d'orbitales képleriennes

4.1. Période d'orbitale képlerienne

4.2. Déflexion classique de la lumière

4.3. Précession du périhélie

5. Durée de l'arc diurne

6. Points de Lagrange

6.1. Positions d'équilibre du premier type

6.1.1. Point L1 de Lagrange

6.1.2. Point L2 de Lagrange

6.1.3. Point L3 de Lagrange

6.2. Positions d'équilibre du deuxième type

6.2.1. Point L4,L5 de Lagrange

Nous allons nous intéresser à la durée du jour, plus exactement à la portion de journée où nous sommes éclairés par le soleil, par rapport à la nuit où nous nous trouvons dans l'ombre.

Remarque: Merci à Xavier Hubaut pour ces très sympathiques développements.

Dans la réalité, la Terre tourne autour du soleil et décrit une orbite presque circulaire en même temps elle tourne sur elle-même autour de son axe qui est incliné d'environ 23°27' sur le plan de son orbite (l'écliptique).

terre
  (47.182)

Remarque: Il est évident qu'étant donnée la complexité du problème, nous le simplifierons en considérant une orbite circulaire, sans variations (précession, nutation) de l'axe de rotation de la Terre, nous supposerons que le soleil est réduit à un point (pas d'aurore, ni de crépuscule, etc.).

Rappelons que la précession est le changement graduel d'orientation de l'axe de rotation d'un objet quand un couple (de force) lui est appliqué alors que la nutation est un balancement périodique de l'axe de rotation de la Terre autour de sa position moyenne en plus de la précession.

Représentons la Terre avec son axe de rotation vertical; en conséquence l'équateur sera situé dans un plan horizontal.

Supposons que ce jour-là, la Terre soit dans une position telle que les rayons du soleil forment un angle equation avec le plan de l'équateur (ou que réciproquement la Terre forme un angle avec le plan de l'équateur). Remarquons que cet angle equationsera toujours compris selon les mesures actuelles entre -23°27' et + 23°27'.

Pour que les choses soient plus gaies, nous avons choisi de faire notre analyse sur un jour où equation est positif. Ainsi, dans l'hémisphère nord nous sommes proches du solstice d'été !

 

Nous chercherons donc durée du jour à un endroit situé à une latitude equation ? Pour fixer les idées, plaçons-nous dans les environs de Bruxelles à 50° de latitude Nord.

Considérons maintenant les figures ci-dessous où la première correspond à une vue de la Terre de côté à un instant t de son orbite lorsque equation et la seconde à une coupure cylindrique de rayon NJ (correspond au rayon du parallèle de Bruxelles) du volume de la Terre à ce même instant :

equation
  (47.183)
 

Sur les figures ci-dessus, C désigne le centre de la Terre, et O le centre du parallèle de Bruxelles.

Fixons un instant t et désignons par M (matin) et S (soir) les deux points du parallèle de Bruxelles où le soleil se lève et se couche (ces points seront considérés comme fixes quelque soit t pour l'instant, ce qui est bien évidemment erroné par rapport à la réalité), tandis que J (jour) et N (nuit) seront ceux où il est respectivement midi et minuit.

P sera le point sur le disque correspondant au parallaxe de Bruxelles où le plan du méridien de midi (le plan dont un des côtés est NJ) coupe la droite MS.

Enfin, equation désignera l'angle equation (où O est donc le centre du disque généré par le parallèle de Bruxelles) qui sous-tend la partie éclairée par le Soleil et r désignera le rayon equation.

Pour simplifier le problème, supposons que pendant 24 heures la Terre tourne sur elle-même sans modifier la position de son axe de rotation par rapport au Soleil.

L'angle equation peut se calculer en remarquant que OP vaut, en valeur absolue :

equation   (47.184)

r représente le rayon du parallèle de Bruxelles.

Or, en utilisant les propriétés des fonctions trigonométriques (cf. chapitre de Trigonométrie). Nous avons :

equation   (47.185)

Or, il nous faut encore injecter le paramètre equation.  Connaissant la latitude equation de Bruxelles, nous avons :

equation   (47.186)

R est le rayon de la Terre.

Nous avons aussi :

equation   (47.187)

et dans le triangle COP :

equation   (47.188)

Enfin, en comparant les valeurs obtenues pour PO, nous obtenons :

equation   (47.189)

et comme :

equation   (47.190)

Nous obtenons finalement :

equation   (47.191)

et donc :

equation   (47.192)

Aux équinoxes (c'est-à-dire quand l'équateur est confondu avec le plan de l'écliptique), nous avons equation et donc :

equation   (47.193)

Or, comme nous l'avons spécifié au début, il faut prendre la valeur absolue donc :

equation   (47.194)

En d'autres, quelque soit la latitude que nous prenons, l'angle formé par la zone de nuit est égale à l'angle formé par la zone de jour (les deux étant égal à equation).

Prenons maintenant le solstice d'été, lorsque  equation en considérant toujours la latitude de Bruxelles equation, nous avons :

equation   (47.195)

ce qui, traduit en nombre d'heures :

equation   (47.196)

soit environ equation

En résumé pour calculer la durée du jour, il suffit de connaître deux choses: la latitude du lieu et l'angle selon lequel le soleil tombe sur le plan de l'équateur à la date choisie. La valeur de cet angle est bien connue aux équinoxes (il vaut 0°) et aux solstices (il vaut +23°27' et -23°27').

Mais aux autres dates ?

La réponse est fort simple. Imaginons-nous, assis sur le Soleil regardant tout au long de l'année en direction du centre de la Terre.

Au cours de sa rotation autour du Soleil, l'axe de rotation de la Terre conserve son inclinaison sur l'écliptique. Vu du Soleil, cet axe tournera autour d'une normale au plan de l'écliptique et décrira donc un cône dont le demi-angle au sommet vaut 23°27' (voir figure plus bas).

L'angle d'attaque equation des rayons solaires sur le plan de l'équateur variera donc en fonction de la date equation (nous associons à la date, l'angle equation parcouru par la Terre sur son orbite, à partir de sa position à l'équinoxe de printemps)

Par conséquent l'angle equation variera en fonction de la date equation de manière sinusoïdale.

Pour ceux qui ne seraient pas convaincus par ce raisonnement semi-intuitif, voici une autre approche :

Pour la lisibilité du schéma, nous avons fortement exagéré l'angle formé par l'axe de rotation de la Terre avec l'écliptique.

equation
  (47.197)

Soit C le centre de la Terre, A l'extrémité d'un vecteur unité equation dirigé suivant l'axe de rotation de la Terre (soit perpendiculaire au plan de l'équateur) et equation un autre vecteur unité dirigé vers le Soleil. Soit maintenant equation l'angle du rayon CS avec le plan de l'équateur et equation l'angle entre les vecteurs unitaires equation et equation. Nous avons alors :

equation   (47.198)

Effectivement, le vecteur equation étant perpendiculaire au plan de l'équateur il forme un angle droit avec celui-ci dès lors puisque l'angle equation est l'angle entre ce vecteur et l'écliptique equation en est le complémentaire.

Nous avons donc :

equation   (47.199)

Décomposons maintenant equationen la somme de equationdirigé perpendiculairement au plan de l'écliptique et de equation situé dans le plan de l'écliptique :

equation   (47.200)

Ainsi :

equation   (47.201)

Mais :

equation   (47.202)

Donc finalement :

equation   (47.203)

et comme nous avons démontré que :

equation   (47.204)

Nous obtenons finalement :

equation   (47.205)

A présent le problème est résolu et la durée du jour sera fonction de deux variables: la date equation et la latitude equation.

Il nous suffit donc maintenant de reprendre la relation :

equation   (47.206)

et d'y injecter le nouveau résultat :

equation   (47.207)

Avec les outils informatiques à notre disposition, nous pouvons aisément calculer la valeur de equation. Nous avons par exemple ci-dessous les variations de la durée du jour sur une année à des latitudes allant de 0 à 90° réparties de 10 en 10°

equation
  (47.208)

A partir de la latitude du cercle polaire, nous observons, en été, des périodes avec soleil ininterrompu (soleil de minuit) et, en hiver, des journées entières de nuit.

Pour Bruxelles (latitude=50°) nous voyons sur le graphique que la durée du jour varie approximativement entre les valeurs de 16h (solstice d'été) et 8h (solstice d'hiver).


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