POINTS DE LAGRANGE



Cours de mécanique céleste

1. Equation de Drake

2. Lois de Kepler

2.1. Première loi de Kepler (loi des orbites)

2.2. Deuxième loi de Kepler (loi des aires)

2.3. Troisième loi de Kepler (loi des périodes)

3. Loi de la gravitation de Newton

3.1. Equation de Newton-Poisson

3.2. Sphérisation des corps célestes

3.2.1. Aplatissement des corps célestes

3.3. Stabilité des atmosphères

3.4. Limite de Roche

4. Trajectoires d'orbitales képleriennes

4.1. Période d'orbitale képlerienne

4.2. Déflexion classique de la lumière

4.3. Précession du périhélie

5. Durée de l'arc diurne

6. Points de Lagrange

6.1. Positions d'équilibre du premier type

6.1.1. Point L1 de Lagrange

6.1.2. Point L2 de Lagrange

6.1.3. Point L3 de Lagrange

6.2. Positions d'équilibre du deuxième type

6.2.1. Point L4,L5 de Lagrange

Un "point de Lagrange" (noté L), ou "point de libration", est une position de l'espace où les champs de gravité de deux corps en orbite l'un autour de l'autre, et de masses substantielles, se combinent de manière à fournir un point d'équilibre à un troisième corps de masse négligeable, tel que les positions relatives des trois corps soient fixes.

Nous allons dans les développements qui vont suivre nous attarder à démontrer au mieux que de tels points sont au nombre de 5 notés respectivement LL5.

Il peut être utile de faire une présentation de ces différents points et de leurs propriétés avant de passer à la partie calculatoire. Cela aidant peut être à la compréhension du sujet.

Nous allons immédiatement considérer le schéma suivant :

equation
  (47.209)

Il existe cinq points de Lagrange :

- L1 : Sur la ligne définie par les deux masses, entre celles-ci.

exemple Exemple:

Nous considérons un objet orbitant autour du Soleil, plus près de celui-ci que la Terre mais sur une même ligne. Cet objet subit une gravité solaire supérieure à celle de la Terre, et tourne donc plus rapidement autour du Soleil que ne le fait la Terre. Mais la gravité terrestre contrecarre en partie celle du Soleil, ce qui le ralentit. Plus on rapproche l'objet de la Terre, plus cet effet est important. À un certain point, le point L1, la vitesse angulaire de l'objet devient exactement égale à celle de la Terre.

- L2 : Sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus petite.

exempleExemple:

Le principe est similaire au cas précédent, de l'autre côté de la Terre. L'objet devrait tourner moins vite que la Terre parce que la gravité solaire y est moindre, mais le champ gravitationnel supplémentaire dû à la Terre tend à l'accélérer. À un certain point, le point L2, l'objet tourne exactement à la même vitesse angulaire que la Terre autour du Soleil.

- L3 : Sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus grande.

exempleExemple:

De manière identique au point L2, il existe un point situé un peu plus loin que l'opposé de la Terre par rapport au Soleil, où un objet de masse négligeable serait en équilibre.

- L4 et L5 : Sur les sommets des deux triangles équilatéraux dont la base est formée par les deux masses.

exempleExemple:

Il s'agit d'un subtil équilibre entre la force centripète exercée par les deux masses principales et la force centrifuge des masses considérées aux points intéressés. L4 est en avance sur la plus petite des masses, dans son orbite autour de la grande, et L5 est en retard. Ces deux points sont parfois appelés "points de Lagrange triangulaires" ou "points troyens".

Fait remarquable, ces deux derniers points ne dépendent en rien des masses relatives des deux autres corps comme nous le verrons.

Pour les trois premiers points de Lagrange, la stabilité n'apparaît que dans le plan perpendiculaire à la ligne occupée par les deux masses. Par exemple, pour le point L1, si nous déplaçons un objet perpendiculairement à la ligne entre les deux masses, les deux forces gravitationnelles vont jouer pour le ramener vers la position initiale. L'équilibre est stable. En revanche, si nous le déplaçons vers une des deux masses, alors le champ de celle-ci va l'emporter sur l'autre et l'objet tendra à se rapprocher encore plus. L'équilibre est instable. Pour les points L4 et L5, la stabilité est obtenue grâce aux forces de Coriolis qui agissent sur les objets s'éloignant du point.

Étant données les questions de stabilité évoquées plus haut, nous ne trouvons pas d'objet naturel autour des points L1, L2 et L3 dans le système solaire. Cependant, ils représentent tout de même un intérêt pour les réalisations scientifiques, car ils permettent des économies de combustible pour le contrôle d'orbite et d'attitude. Ceci n'est pas valable pour le point L3, du fait de son éloignement de la Terre dont la seule application était que les auteurs de science-fiction et de bande dessinée aimaient y placer une Anti-Terre d'autant plus utopique que la masse de cette planète-jumelle y était bien trop élevée par rapport à la théorie énoncée plus haut. En revanche, des missions spatiales utilisent L1 et L2 : c'est le cas de la sonde SoHO (Solar and Heliospheric Observatory) une station d'observation du Soleil située au point L1.

L4 et L5 étant stables, nous y trouvons de nombreux corps naturels. Dans le système Jupiter-Soleil, plusieurs centaines d'astéroïdes, appelés astéroïdes Troyens, s'y agglutinent (près de 1800 en avril 2005). Nous en comptons quelques-uns dans les systèmes Neptune-Soleil et Mars-Soleil. Curieusement, il semblerait que le système Saturne-Soleil ne soit pas en mesure d'en accumuler, à cause des perturbations joviennes. Nous trouvons également des objets à ces points dans le système Saturne-satellites de Saturne : Saturne-Téthys avec Télesto et Calypso aux points L4 et L5, et Saturne-Dioné avec Hélène au point L4 et Pollux au point L5. Dans le système Terre-Soleil, il n'y a pas d'objet connu de grande taille aux points Troyens, mais on y a découvert une légère surabondance de poussière en 1950. De légers nuages de poussière sont également présents pour le système Terre-Lune; cela a fait renoncer à y placer un télescope spatial comme le projet en avait été envisagé. Le satellite SoHO occupe depuis 1995 le point L1 à 1.5 million de kilomètres de la Terre. En 2007 le point L2 sera occupé par le satellite Planck chargé d'étudier le fond diffus cosmologique à 2.7 [°K].

A strictement parler ces 5 points existent uniquement pour deux corps en rotation circulaire l'un autour de l'autre. Dès que l'orbite des deux corps est elliptique, ces points ne sont plus des points d'équilibre. En pratique, si l'orbite est faiblement elliptique, comme c'est le cas pour les planètes réelles, on peut trouver des orbites oscillantes stables ne s'écartant pas beaucoup des régions correspondant aux points de Lagrange.

Nous allons donc considérer dans l'espace un système isolé de deux corps A et B, de masse equation et equation, en interaction gravitationnelle. Ces deux corps sont en orbite l'un autour de l'autre, à la manière d'un système de deux étoiles (système binaire) ou d'un système planète-satellite (Saturne-Titan par exemple). Nous cherchons à déterminer s'il existe des positions d'équilibre par rapport au système des deux corps en rotation pour un troisième corps (de masse suffisamment faible pour ne pas perturber le mouvement du système des deux corps principaux).

equation
  (47.210)

Soit O le barycentre (cf. chapitre de Mécanique Classique) de ces deux astres. Considérons un repère galiléen (en mouvement rectiligne et uniforme donc!) d'origine O. Par rapport à ce repère, nous supposerons que l'axe AB tourne à une vitesse angulaire constante equation d'axe fixe equation (perpendiculaire à la page dans la figure ci-dessus et dirigé en direction du lecteur) et que les distances equation et equation restent également constantes.

Nous savons par notre étude de la mécanique classique que dans un mouvement circulaire la force centrifuge est donnée par:

equation   (47.211)

Nous avons donc (équilibre en force centrifuge et centripète) pour assurer l'équilibre :

equation et equation   (47.212)

En simplifiant et en sommant ces deux relations :

equation   (47.213)

avec dans la suite equation.

Considérons un repère tournant R' lié à nos astres comme représenté sur la figure ci-dessus : equation sera un vecteur unitaire colinéaire à AB, equation un vecteur unitaire perpendiculaire à equation et dans le plan de rotation des planètes et finalement equation colinéaire à equation.

Nous considérons dans ce repère tournant (avec les astres) un troisième astre S de masse négligeable m devant equation et equation, soumis à l'attraction gravitationnelle de A et B.

Maintenant notons equation l'accélération de S par rapport à R', equation sa vitesse et equation le vecteur unitaire colinéaire à equation où S ' est le projeté de S dans le plan Oxy, et equation (dans la figure ci-dessus, nous avons supposé S dans le plan Oxy, et donc S et S ' sont confondus).

S est donc soumis à deux forces, l'une equation dirigée vers A et l'autre equation dirigée vers B, forces d'intensités respectives :

equation  et  equation   (47.214)

Dans un repère galiléen, ces deux forces imposent à S une accélération donnée par la loi de composition des accélérations dans un référentiel circulaire (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

equation   (47.215)

Or, dans notre configuration la pulsation est constante et l'accélération d'entraînement est nulle puisque nous avons posé R ' comme référentiel principal. Il vient donc :

equation   (47.216)

Nous avons également :

equation   (47.217)

où selon schéma toutes les composantes sont positives. Le calcul du produit vectoriel donne (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

equation   (47.218)

Donc finalement :

equation   (47.219)

Ecrivons plutôt cette relation sous la forme :

equation   (47.220)

Nous obtenons alors, en projetant sur les trois axes x, y et z, les dérivées prises par rapport au temps t le système suivant :

equation   (47.221)

avec :

equation et equation   (47.222)

pour que les coordonnées equation du point S soit un point d'équilibre, il est bien évidemment que dans le référentiel tournant avec les astres A et B que :

equation et equation   (47.223)

Nous obtenons alors le système suivant :

equation   (47.224)

Il vient par ailleurs immédiatement que la troisième équation à pour seule solution equation et donc finalement le système se réduit à :

equation   (47.225)

La troisième équation signifie simplement que les positions d'équilibre sont dans le plan Oxy (on pouvait s'en douter un peu...). La deux autres nous le verrons nous amènent à considérer cinq solution qui sont simplement nos cinq points de Lagrange L1,...,L5.

Si nous traçons avec un logiciel ad-hoc l'accélération (respectivement la force) avec les isoclines mises en évidences (courbes sur lesquelles  l'accélération à même norme) nous obtenons :

equation
  (47.226)

et en demandant au logiciel de tracer que les isoclines projetées sur un plan :

equation
  (47.227)

où nous avons mis en évidence les cinq points de Lagrange tels et où les astres sont représentés par des points bleus et le barycentre du système par un point vert.

Le lecteur remarquera qu'il est difficile de deviner intuitivement cette configuration du potentiel. Dans le référentiel tournant avec le barycentre des deux corps massifs, le potentiel résultant de la combinaison des potentiels gravitationnels et rotationnel présente 3 extrema L1, L2 et L3 sur la droite contenant les 2 corps. L'un de ces maxima se situe entre les 2 corps, ce que l'on attend intuitivement. Les deux autres maxima se trouvent sur la droite reliant les 2 objets, mais de part et d'autre ...ce qui est plus surprenant. Ils proviennent au fait de la contribution au potentiel du référentiel tournant ce qui peut être difficile à modéliser intuitivement.

POSITIONS D'ÉQUILIBRE DU PREMIER TYPE

Ce que nous entendons par les positions d'équilibre du premier type sont simplement les solutions situées sur la droite AB tel que equation ce qui revient à étudier seulement :

equation   (47.228)

avec dès lors :

equation et equation   (47.229)

A cette situation nous allons considérer deux sous-cas possibles correspondant respectivement à L1 et L2 comme nous allons de suite le voir.

POINT L1 DE LAGRANGE

Dans ce premier sous cas, nous considérons :

equation   (47.230)

Ce qui revient aussi à avoir :

equation   (47.231)

Ce qui nous permet d'écrire :

equation   (47.232)

sous la forme simplifiée suivante :

equation   (47.233)

Maintenant pour dire quelque chose sur les solutions possibles de cette équation dérivons le membre de gauche. Nous obtenons alors :

equation   (47.234)

Ce terme est strictement croissant de equation à equation lorsque x décrit equation. Il y a donc une solution unique et un point d'équilibre noté L1 (premier point de Lagrange) entre A et B.

Si nous considérons typiquement le cas Terre-Soleil où equation et donc equation  alors en equation nous avons :

equation   (47.235)

ce qui immédiatement négatif. La position d'équilibre sera donc obtenu pour une valeur positive de x que nous allons devoir déterminer.

Cette valeur peut être obtenu en considérant un cas limite : lorsque equation tend vers 0 (correspondant à un astre massif A autour duquel tourne un astre B de masse beaucoup plus petit), A tend alors vers O, equation vers 0 et donc :

equation   (47.236)

avec equation. Dès lors, dans ce cas limite :

equation   (47.237)

devient en approximation :

equation   (47.238)

et donc :

equation   (47.239)

Donc la seule valeur de x satisfaisant cette relation sera equation.

En d'autres termes, le point d'équilibre cherché L1 ici entre A et B se rapproche de B soit de l'astre le moins massif (ce qui correspond bien à la première figure que nous avons utilisé pour montrer l'emplacement des cinq points de Lagrange).

De par ce constat voici les développements que nous pouvons effectuer les calculs suivants :

equation
  (47.240)

Nous avons d'après la définition du barycentre :

equation   (47.241)

Comme notre étude se fait par rapport au barycentre nous avons equation et donc :

equation   (47.242)

De la relation précédente en prenant la norme nous avons bien évidemment :

equation   (47.243)

La distance entre les deux astres A et B demeurant constante et égalant equation nous écrivons :

equation   (47.244)

Nous en déduisons trivialement :

equation   (47.245)

Mais puisque equation nous pouvons grossièrement la première relation sous la forme approximative suivante :

equation   (47.246)

et puisque :

equation   (47.247)

nous avons aussi :

equation   (47.248)

Donc avec equation :

equation   (47.249)

Selon le cas limite étudié précédemment, nous pouvons donc supposer L voisin de A tel qu'abusivement il soit possible d'écrire :

equation    (47.250)

avec equation.

Soit en utilisant :

equation   (47.251)

Nous avons alors :

equation   (47.252)

en négligeant les infiniment petits d'ordre 2.

D'où :

equation   (47.253)

Maintenant dans la configuration mentionnée l'équilibre est donné par :

equation   (47.254)

Donc :

equation   (47.255)

Maintenant la troisième loi de Kepler (cf. chapitre de Mécanique Classique) nous donne :

equation   (47.256)

Soit :

equation   (47.257)

Après simplification :

equation   (47.258)

Soit :

equation   (47.259)

Donc :

equation   (47.260)

Puisque equation est très supérieur à 1 et en admettant que equation le soit aussi nous avons :

equation   (47.261)

Soit finalement :

equation   (47.262)

et donc :

equation   (47.263)

Si nous prenons le A Soleil et B  la Terre, alors :

equation   (47.264)

Nous trouvons que la distance LB vaut à peu près :

equation   (47.265)

qui est le point L1 auquel a été placé le satellite SoHo.

Un cas particulier du point L1 à considérer est lorsque equation, alors equation, O est alors le milieu de AB. Nous avons alors :

equation   (47.266)

Dès lors :

equation   (47.267)

devient :

equation   (47.268)

Parmi les quatre racines évidentes de cette équation la seule solution acceptable est equation pour satisfaire equation. En d'autres termes le point d'équilibre situé entre deux astres de même masse n'est autre que le barycentre de ces deux astres.

POINT L2 DE LAGRANGE

Dans ce deuxième cas, nous considérons :

equation   (47.269)

Nous cherchons donc les points d'équilibre au-delà de B.

Dès lors nous avons :

equation   (47.270)

qui devient simplement :

equation   (47.271)

Le membre de gauche est une fonction  strictement croissante de x de equation à equation lorsque x décrit equation. Il y a donc une solution unique, et un point d'équilibre au delà de B. Ce point est noté L2.

Cette valeur peut être obtenu en considérant un cas limite : lorsque equation tend vers 0 (correspondant à un astre massif A autour duquel tourne un astre B de masse beaucoup plus petit), A tend alors vers O, equation vers 0 et donc :

equation   (47.272)

avec equation. Dès lors, dans ce cas limite :

equation  (47.273)
 

devient en approximation :

equation   (47.274)

et donc :

equation   (47.275)

Donc la seule valeur de x satisfaisant cette relation sera equation. Le point L2 finit donc par se confondre avec B.

Connaissant ce cas limite, faisons une étude plus détaillée. Considérons le schéma suivant relativement à notre situation limite précédente :

equation
  (47.276)

et considérons equation  sans oublier que dans ce scénario equation

Nous avons alors quasiment les mêmes développements que pour L1 à la différence que :

equation   (47.277)

Devient :

equation   (47.278)

et que plutôt que d'avoir :

equation   (47.279)

Nous avons :

equation   (47.280)

et donc :

equation   (47.281)

Toujours avec :

equation   (47.282)

et donc :

equation   (47.283)

ce qui correspond au point de Lagrange L2.

Un cas particulier à nouveau de L2 est lorsque equation, alors equation, O est alors le milieu de AB. Nous avons alors :

equation   (47.284)

Dès lors :

equation   (47.285)

devient :

equation   (47.286)

Il n'est plus possible d'extraire les racines ici. Il faut passer par une approximation numérique. Dans Maple, il suffit de mettre :

solve(-1/(r+x)^2-1/(x-r)^2=x/(8*r^3),x);allvalues(");

et la seule solution admissible dans equation est equation les autres étant dans equation.

POINT L3 DE LAGRANGE

Dans ce deuxième cas, nous considérons :

equation   (47.287)

Nous cherchons donc les points d'équilibre au-delà de A.

Dès lors nous avons :

equation   (47.288)

qui devient simplement :

equation   (47.289)

Le membre de gauche est une fonction  strictement croissante de x de equation à equation lorsque x décrit equation. Il y a donc une solution unique, et un point d'équilibre au delà de A. Ce point est noté L3.

Cette valeur peut être obtenu en considérant un cas limite : lorsque equation tend vers 0 (correspondant à un astre massif A autour duquel tourne un astre B de masse beaucoup plus petit), A tend alors vers O, equation vers 0 et donc :

equation   (47.290)

avec equation. Dès lors, dans ce cas limite :

equation   (47.291)
 

devient en approximation :

equation   (47.292)

et donc :

equation   (47.293)

Donc la seule valeur de x satisfaisant cette relation sera equation. Le point L3 finit donc par se confondre avec la position diamétralement opposée à B.

Connaissant ce cas limite, faisons une étude plus détaillée. Considérons le schéma suivant relativement à notre situation limite précédente :

equation
  (47.294)

et considérons toujours equation  sans oublier que dans ce scénario equation

Nous allons considérer d'abord l'approximation suivante :

equation   (47.295)

et celle-ci aussi (puisque OA tend vers zéro lorsque l'astre A devient très massif) :

equation   (47.296)

Dès lors :

equation   (47.297)

Nous avons aussi (...) :

equation   (47.298)

où à la limite où l'astre A est vraiment massif nous tombons sur le premier terme...

Avec ces deux dernières relations nous avons :

equation   (47.299)

si nous négligeons les termes du deuxième ordre.

Nous avons par ailleurs aussi :

equation   (47.300)

Rappelons la condition d'équilibre :

equation   (47.301)

Et mettons tout ce que nous avons obtenu avant là-dedans :

equation   (47.302)

Ce qui devient après simplifications :

equation   (47.303)

après une petite approximation :

equation   (47.304)

après simplification :

equation   (47.305)

D'où :

equation   (47.306)

et finalement :

equation   (47.307)

Remarque: Chez certains auteurs de science-fiction, ce point L3 à l'opposé de la Terre par rapport au Soleil nous cacherait une hypothétique planète qui nous serait perpétuellement cachée par le Soleil.

POSITIONS D'ÉQUILIBRE DU DEUXIÈME TYPE

Les positions d'équilibre du deuxième type sont donc celles pour lesquelles equation. En d'autres termes les points situés hors de la droite AB, mais dans le plan Oxy.

Ainsi, notre système d'équations reste :

equation   (47.308)

POINT L4, L5 DE LAGRANGE

Pour déterminer les autres points d'équilibre restant, nous pouvons diviser la deuxième équation du système par y tel que le système devienne :

equation   (47.309)

Retranchons à la première équation la deuxième multipliée par x. Nous obtenons alors pour la première :

equation   (47.310)

Soit :

equation   (47.311)

Mais comme equation ceci se simplifie encore en :

equation   (47.312)

Reprenons maintenant, en toute généralité, notre schéma du début en rajoutant quelques éléments :

equation
  (47.313)

AB est le distance entre A et B et D est le centre de masse du système donné par :

equation ou equation   (47.314)

qui sont donc les rayons de giration des corps A et B.

Il est facile de vérifier que la somme des deux distances précédentes est égale à C et leur proportion equation. Une autre forme de DB (qui nous sera utile) s'obtient en divisant numérateur et dénominateur par equation :

equation   (47.315)

Nous savons selon nos calculs précédents que equationmais cela est insuffisant. Nous voulons encore connaître les angles des sommets A, B, S et c'est ce dont à quoi nous allons nous intéresser maintenant.

Dans ce cadre, si un satellite en S est en équilibre, il restera toujours à la même distance de A ou de B. Le centre de rotation des 3 points est le point D, la masse A elle-même tourne autour de lui. Si le satellite, en S, reste stabilisé, les trois corps ont la même période orbitale T. Si S est immobile dans ce cadre en rotation il ne sera pas soumis à la force de Coriolis mais uniquement à la force centrifuge, aussi bien de celle de A que de B.

Notons equation la vitesse de rotation de B et equation la vitesse de rotation de S. Nous avons alors :

equation et equation   (47.316)

Nous en tirons que :

equation et equation   (47.317)

Nous pouvons donc égaler ces deux expressions :

equation   (47.318)

Cela exprime simplement le fait bien connu que si deux objets tournent conjointement, le plus éloigné de l'axe est le plus rapide. Les vitesses sont proportionnelles aux distances de l'axe.

La force centrifuge sur B est en équilibre avec la force gravitationnelle de A s'exprime par :

equation   (47.319)

Soit en simplifiant :

equation   (47.320)

De même, la force centrifuge qui s'applique sur S est :

equation   (47.321)

Elle est équilibrée par les forces d'attraction et equation des corps A et B. Néanmoins, seules les composantes de ces forces situées sur la ligne R s'opposent efficacement à cette force centrifuge. D'où :

equation   (47.322)

et comme :

equation et equation   (47.323)

Nous avons alors :

equation   (47.324)

Il y a aussi les forces s'appliquant à S et perpendiculaires à R doivent s'annuler. Si non, le corps S suivrait la masse la plus importante et ne resterait pas en position et ne serait donc plus en équilibre. Il faut donc que :

equation   (47.325)

Soit, après substitution et simplification :

equation   (47.326)

De toutes les équations obtenues jusqu'à maintenant les seules qui nous dérangent sont les vitesses et les angles equation. Il faut donc que nous arrivions à éliminer ce qui convient pour n'avoir que les deux derniers paramètres (soit les angles).

Pour cela, nous portons au carré :

equation   (47.327)

Nous multiplions des deux côtés par equation et divisons par equation :

equation   (47.328)

qui est à rapprocher de :

equation   (47.329)

Donc en égalisant :

equation   (47.330)

Nous avons donc éliminé la vitesse de B. Maintenant, multiplions les deux côtés par equation et divisons par equation et multiplions par R :

equation   (47.331)

à rapprocher de :

equation   (47.332)

Donc :

equation   (47.333)

En divisant le tout par equation nous trouvons :

equation   (47.334)

et comme nous avons démontré au début equation que nous noterons R'. Nous avons alors :

equation   (47.335)

et rappelons que nous avons :

equation   (47.336)

Soit :

equation   (47.337)

Ce qui nous permet d'écrire :

equation   (47.338)

En multipliant par equation :

equation   (47.339)

Soit :

equation   (47.340)

Nous pouvons maintenant remarquer une chose (faut le voir...). Si equation (soit que le triangle ABS est équilatéral) la relation précédente se simplifie en :

equation   (47.341)

Or, si le triangle est bien équilatéral nous avons alors equation. Dès lors :

equation   (47.342)

Soit ce qui peut s'écrire finalement :

equation   (47.343)

Ce qui n'est d'autre que le théorème des sinus pour le triangle SDB (cf. chapitre de Trigonométrie) et est donc certain. En reprenant en arrière, nous pouvons maintenant prouver toutes les équations précédentes sont satisfaites si et seulement si ABS est équilatéral. Si nous n'avions pas posé ABS comme équilatéral, nous aurions obtenu une relation différente du théorème des sinues, sans vérification possible, et l'ensemble des équations exigées pour l'équilibre au point S n'auraient pu être satisfaites.

Conclusion de la chose... le système donne comme solution :

equation   (47.344)

ABS (ou ABL peu importe l'écriture), forme alors un triangle équilatéral. Les deux points d'équilibre sont notés L4 et L5. L4 est situé en avance par rapport à l'astre de masse la plus petite, et L5 en retard.

equation
  (47.345)

En 2000, 385 astéroïdes en L4 et 188 astéroïdes en L5 ont été comptabilisés sur l'orbite de Jupiter, mais situés précisément selon un triangle équilatéral avec le Soleil et Jupiter de part et d'autre de Jupiter : ce sont les planètes troyennes. Il a également été observé deux objets au point L5 de Mars découverts en 1990 et 1998.