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trajectoires d'orbitales kepleriennes

L'observation (outil principal du physicien pour rappel) semble montrer qu'à première vue, les trajectoires suivies par les corps célestes en orbite autour d'astres sont bien de type coniques (ouf!). Sachant cela, nous pouvons afin de faciliter les calculs, anticiper la complexification des calculs et exprimer directement la dynamique d'un point matériel en des coordonnées polaires. 

Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel, la vitesse en coordonnées polaires s'exprime par la relation (nous avons changé la lettre grecque de notation de l'angle pour nous adapter à la tradition):

  (47.69)

où pour rappel le premier terme est la composante radiale de la vitesse et le second la composante tangentielle de la vitesse (angulaire).

Pour l'accélération:

  (47.70)

où le premier terme est l'accélération radiale, le second l'accélération centripète, le troisième l'accélération tangentielle et le quatrième l'accélération de Coriolis (cf. chapitre de Mécanique Classique).

Maintenant que nous avons les outils nécessaires, attaquons nous au cas des orbites képlériennes dans le cas d'un champ Newtonien.

Nous avons déjà  démontré que plus haut :

  (47.71)

Cependant, il est peu probable que le corps principal soit une sphère parfaite et homogène... Les astrophysiciens ont donc l'habitude de noter le potentiel Newtonien U sous la forme:

  (47.72)

où est appelée "constante de gravitation de l'astre" et où f est une fonction représentant les hétérogénéités de l'astre.

S'il est un endroit de l'univers où les lois de la mécanique sont parfaitement vérifiables, c'est bien l'espace, parce que le frottement ou les causes de dissipation y sont extrêmement faibles. Dans le champ d'une seule force dérivant d'un potentiel, le mouvement vérifie la conservation de l'énergie mécanique.

Nous aboutissons ainsi à l'équation dite de l'énergie, dans laquelle E désigne "l'énergie spécifique" par unité de masse (kilogramme) envoyé.

  (47.73)

donc :

  (47.74)

La force de gravitation newtonienne est centrale, donc de moment nul au centre O du corps principal. Il en résulte la conservation du moment cinétique en norme et en direction, soit:

  (47.75)

Le vecteur  est l'unitaire de  ou de appelé "moment cinétique réduit". K est la constante des aires (cf. chapitre de Mécanique Classique) telle que:

  (47.76)

Nous rappelons que la norme de la vitesse exprimée en coordonnées polaires plane est donné par la relation (n'oubliez pas que les deux vecteurs de la base polaire sont orthogonaux et que l'on peut donc appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la norme comme il l'a été démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel du site):

  (47.77)

Ce qui nous permet d'écrire pour K :

  (47.78)

Plaçons-nous dans le plan orbital, en coordonnées polaires. Nous possédons deux intégrales premières dépendant des deux constantes essentielles E et K.

Soit la relation déjà démontrée et sa norme . Or:

  (47.79)

Remplaçons dans l'expression de :

  (47.80)

En égalant avec l'expression de  résultant de la conservation de l'énergie, nous avons:

  (47.81)

Ce qui nous donne une équation différentielle assez compliquée:

  (47.82)

Et là nous nous demandons comment nous pouvons faire pour nous en sortir. Après quelques heures de réflexions... nous nous rendons compte qu'il faut faire une substitution. Après une autre heure de chaos neuronal cela finit par aboutir. Nous décidons de poser (nous en avons tout à fait le droit), sachant que r est une fonction u de :

  (47.83)

Dérivons allégrement par rapport à :

  (47.84)

Substituons dans l'équation différentielle:

  (47.85)

Après simplification nous obtenons :

  (47.86)

Nous séparons les variables pour intégrer:

  (47.87)

Nous avons deux solutions suivant le signe que nous choisissons. Cependant à la fin de la résolution, nous remarquons que le seul choix physiquement intéressant est le signe négatif. Ainsi:

  (47.88)

Nous laissons, par approximation, de côté la constante d'intégration qui impliquerait des très faibles oscillations sur la trajectoire de l'orbite (si vous faites une étude ou un TP sur le sujet, communiquez-moi les graphiques que vous obtenez avec ou sans la constante, cela m'intéresserait).

Ce qui nous permet d'obtenir :

  (47.89)

Or, nous voyons que notre choix du signe pour l'intégration se justifie pleinement puisque maintenant, si nous faisons un petit rappel sur les coniques, nous voyons que nous avons:

  (47.90)

où e est l'excentricité (rapport du petit axe ) et p le paramètre focal () d'une ellipse. Ce qui correspond bien aux trajectoires que suivent les astres en orbite.

Nous retrouvons donc bien la première "loi" de Kepler....

Dans notre cas, nous avons après simplification :

 et   (47.91)

où (pour rappel) K est la constante des aires :

  (47.92)

et la constante de gravitation de l'astre :

  (47.93)

et enfin E l'énergie spécifique :

  (47.94)

Le lecteur vérifiera comme nous l'avons vu dans le chapitre de Géométrie Analytique lors de notre étude des coniques que si :

-  nous avons une orbite ouverte sous forme de parabole

-   nous avons une orbite ouverte sous forme d'hyperbole

-  nous avons une orbite fermée sous forme d'une ellipse ou de cercle.

PÉRIODE ORBITALE KEPLERIENNE

La loi des aires permet comme nous le savons déjà de calculer la période orbitale képlérienne T. En effet, l'aire S de l'ellipse valant (cf. chapitre sur les Formes Géométriques) et ayant déjà déterminé lors de la définition du moment cinétique la relation (cf. chapitre de Mécanique Classique):

  (47.95)

Il vient naturellement: 

  (47.96)

Par ailleurs, l'étude des coniques (cf. chapitre de Géométrie Analytique) nous a montré que :

   (47.97)

et nous avons défini plus haut :

  (47.98)

Nous avons donc la relation :

  (47.99)

et nous retrouvons du même coup la troisième loi de Kepler... :

  (47.100)

ce qui valide nos calculs précédents.

DÉFLEXION CLASSIQUE DE LA LUMIÈRE

Les calculs effectués précédemment peuvent s'appliquer à un cas intéressant : la déviation de la lumière par un astre selon une interprétation newtonienne (bien évidemment!).

Nous avons donc montré plus haut que :

  (47.101)

Dans le cadre d'un photon nous aurions tendance à poser que et donc que :

  (47.102)

en posant les relations trigonométriques élémentaires (cf. chapitre de Trigonométrie) nous donnent :

  (47.103)

et donc en utilisant encore les relations trigonométriques :

  (47.104)

soit :

  (47.105)

et nous savons que :

  (47.106)

donc :

  (47.107)

en négligeant l'énergie potentielle du photon puisque , nous avons (attention!!! rappelons que selon ce que nous avons vu dans le chapitre de Relativité Restreinte, le photon n'a pas de masse rigoureusement!):

  (47.108)

Donc :

  (47.109)

donc:

  (47.110)

après simplification :

  (47.111)

et comme est supposé petit, nous avons à l'aide du développement de Taylor de la fonction tangente (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) :

  (47.112)

il vient donc finalement :

  (47.113)

Or, nous avons par définition :

  (47.114)

et nous savons que (cf. chapitre de Mécanique Classique). Ainsi il vient :

  (47.115)

Si la particule est un photon passant au ras de la surface du Solaire alors :

  (47.116)

un calcul numérique donne alors :

  (47.117)

La théorie Newtonienne prévoit donc une déviation de 0.87 secondes d'arc pour un rayon lumineux frôlant la surface solaire. Ce qui est deux fois moins que ce qui peut être observé expérimentalement et que ce que donne la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Générale)!

prÉcession du pÉrihÈlie

Avant d'étudier la précession des orbites, nous souhaiterions rappeler que le champ gravitationnel et un champ conservatif et central. Ceci implique donc que le moment cinétique (cf. chapitre de Mécanique Classique) est constant et que la trajectoire a lieu dans un plan dont le vecteur normal à la surface conserve toujours la même direction (le vecteur moment cinétique est constant en norme et en direction pour rappel!). 

Nous nous attaquerons à l'analyse de la précession du périhélie en prenant en compte les résultats de la théorie de la relativité restreinte (cela permettant d'être plus fin dans les résultats obtenus et de pouvoir appliquer ces mêmes résultats aux électrons en orbite autour du noyau de l'atome).

Définitions:

D1. Le "périhélie" est le point de l'orbite d'un corps céleste (planète, comète, etc.) qui est le plus rapproché de l'étoile autour duquel il tourne.

D2. "L'aphélie" est le point de l'orbite d'un objet (planète, comète, etc.) où il est le plus éloigné de l'étoile autour duquel il tourne.

D3. "L'équinoxe" est l'instant où le l'étoile centrale traverse l'équateur de l'objet qui est en orbite autour de lui.

Evidemment, le résultat que nous obtiendrons ne sera pas complet, puisque comme nous le savons, il a fallu attendre le développement de la relativité générale pour donner avec exactitude la précession du périhélie de Mercure (nous y reviendrons).

Pour calculer cet effet de précession, nous allons rechercher l'équivalent d'une formule dite "formule de Binet" sous forme relativiste (nous verrons la forme classique dans le chapitre de Relativité Générale). Nous procédons comme suit :

Le lagrangien relativiste du système (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

  (47.118)

Avec :

  (47.119)

et la masse réduite :

  (47.120)

Le moment cinétique :

  (47.121)

sous forme relativiste et appliqué à notre étude s'écrit:

  (47.122)

En prenant la norme, nous avons sans oublier que dans note étude et donc :

  (47.123)

et rappelons que nous avons adopté l'écriture . Ce qui nous donne finalement:

  (47.124)

Pour établir l'équivalent relativiste de la formule de Binet:

- nous partons du moment cinétique :

  (47.125)

- nous recherchons une relation du type  (puisque la trajectoire est une conique):

  (47.126)

Effectivement car rappelons qu'en coordonnées polaires la vitesse est donnée par l'expression suivante:

  (47.127)

C'est-à-dire que . Cette dernière expression permet d'écrire que:

  (47.128)

- nous cherchons ensuite une relation :

  (47.129)

Soit:

  (47.130)

A partir des équations obtenues précédemment, nous avons successivement:

  (47.131)

Rappelons que nous avions défini en relativité restreinte:

  (47.132)

Avec les équations précédentes, cela nous donne:

    (47.133)

D'autre part:

  (47.134)

En introduisant l'avant dernière relation dans cette dernière:

  (47.135)

En posant  et comme:

  (47.136)

L'avant dernière relation devient avec cette dernière expression:

  (47.137)

En égalant cette dernière relation avec celle du lagrangien:

  (47.138)

En dérivant cette dernière relation par rapport à :

  (47.139)

Effectivement, le lagrangien étant constant au cours du temps (le système est conservatif !), nous avons donc:

  (47.140)

et également:

  (47.141)

Or, si nous continuons:

  (47.142)

En se référant à: 

  (47.143)

Nous obtenons donc: 

  (47.144)

Ce qui donne finalement après quelques simplifications:

  (47.145)

En multipliant cette dernière par :

  (47.146)

Dans un potentiel gravitationnel:

  (47.147)

L'équation de Binet en relativité restreinte est alors:

  (47.148)

Pour rechercher une solution à cette équation différentielle, nous allons grouper la variable u dans le membre de gauche:

  (47.149)

Nous posons :

   et     (47.150)

L'équation différentielle s'écrit alors:

  (47.151)

Nous posons :

  (47.152)

En prenant la dérivée seconde:

  (47.153)

Nous trouvons alors une simple équation différentielle dont la solution est bien connue:

  (47.154)

Les solutions sont du type:

  (47.155)

Ce qui s'écrit encore puisque  est une constante:

   (47.156)

avec .

Pour déterminer les constantes  nous nous plaçons d'abord dans la situation pour laquelle , où r est minimal et donc par définition u maximal.

Nous dérivons par rapport à :

  (47.157)

Donc  ce qui fait que la relation:

  (47.158)

devient:

  (47.159)

Ecrite autrement (en essayant de revenir sur une notation similaire à celle de l'étude des coniques) cela donne :

  (47.160)

Et l'intérêt d'écrire cela ainsi est de remarquer que nous retombons sur l'équation d'une ellipse avec p étant le paramètre focal de la conique étant aussi donné par (cf. chapitre de Géométrie Analytique):

  (47.161)

où a est le demi-grand axe de l'ellipse.

Maintenant posons :

 et   (47.162)

Au premier passage par le périhélie  où :

  (47.163)

nous avons donc:

  (47.164)

Au deuxième passage par le périhélie , nous avons :

  (47.165)

nous avons donc également:

  (47.166)

La trajectoire est toujours une ellipse mais l'angle qui était nul au départ est devenu .

Soit si nous avons :

  (47.167)

Alors:

  (47.168)

Ce qui nous donne:

  (47.169)

Etant donné que , un développement en série de Taylor (cf. chapitre sur les Suites Et Séries):

  (47.170)

En se limitant à l'ordre 2:

  (47.171)

Donc en conclusion, il y a un avancement du périhélie s'effectuant dans le sens de rotation du satellite. Pour un référentiel situé dans le plan de rotation du satellite, la trajectoire est toujours une ellipse.

Cette avance est de:

  (47.172)

par demi-période. Soit en explicitant le moment cinétique donné pour rappel par:

  (47.173)

Il vient alors après simplification:

  (47.174)

Nous allons maintenant nous permettre une approximation assez grossière (mélange de relativiste et non relativiste). Soit à considérer la dernière relation, nous avons obtenu lors de nos développements des trajectoires d'orbitales képlériennes la relation :

  (47.175)

Dès lors en injectant ceci dans la relation de  nous avons :

  (47.176)

Malheureusement, les valeurs numériques pour Mercure ne donnent qu'une précession de 7'' d'angle par siècle et non pas les 43'' d'angle par siècle attendus (...) il manque un facteur 6 que seulement la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Générale) permet de trouver. Il est néanmoins intéressant de constater que la relativité, même restreinte, donne déjà une orbite qui précesse là où Newton voit une ellipse stable et que cette approximation fonctionne pour toutes les planètes exceptées Mercure (planète la plus proche du Soleil et subissant de plein fouet la courbure de l'espace-temps).

Si les positions du périhélie (et donc de l'aphélie) du barycentre Terre-Lune étaient constantes dans le temps, la durée des différentes saisons serait, elle aussi constante. Mais l'orbite du barycentre Terre-Lune tourne lui aussi dans son plan dans le sens direct à raison d'environ 12'' par an (soit une révolution en environ 100'000 ans).

La précession des équinoxes s'effectue dans le sens contraire (sens rétrograde) à raison d'environ 50'' par an (soit une révolution en environ 26'000 ans). La combinaison de ces deux mouvements permet de calculer la période du passage du périhélie de la Terre par la direction de l'équinoxe de printemps, cette période d'environ 21'000 ans est appelée précession climatique.

En effet, tous les 10'500 ans (demi-période de la précession climatique) l'aphélie passe de l'été à l'hiver. Or même si la distance Terre-Soleil n'est pas le facteur prédominant dans la nature des saisons, la combinaison du passage de la Terre à l'aphélie en hiver donne des hivers plus rudes. La distance Terre-Soleil dépend également de la variation de l'excentricité de l'orbite terrestre (due aux planètes extérieures et intérieures). Ainsi, les périodes glacières sont corrélées avec les minima de l'excentricité de l'orbite terrestre.

  (47.180)

Les travaux de l'institut de mécanique céleste (France), depuis les années 1970, ont permis de confirmer définitivement les prédictions théoriques comme quoi la l'excentricité de l'orbite terrestre subit de larges variations formées de nombreux termes périodiques dont les plus importants ont des périodes voisines de 100'00 ans, et pour l'un d'eux, une période de 400'000 ans. Ces résultats confirment les variations climatiques de la Terre au cours de l'ère quaternaire. Les paléoclimatologies montrent en effet la corrélation entre les variations des éléments de l'orbite terrestre et les grandes glaciations du quaternaire.

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