trajectoires d'orbitales kepleriennes
1. Equation de Drake
2. Lois de Kepler
2.1. Première loi de Kepler (loi des orbites)
2.2. Deuxième loi de Kepler (loi des aires)
2.3. Troisième loi de Kepler (loi des périodes)
3. Loi de la gravitation de Newton
3.1. Equation de Newton-Poisson
3.2. Sphérisation des corps célestes
3.2.1. Aplatissement des corps célestes
3.3. Stabilité des atmosphères
3.4. Limite de Roche
4. Trajectoires d'orbitales képleriennes
4.1. Période d'orbitale képlerienne
4.2. Déflexion classique de la lumière
4.3. Précession du périhélie
6.1. Positions d'équilibre du premier type
6.1.1. Point L1 de Lagrange
6.1.2. Point L2 de Lagrange
6.1.3. Point L3 de Lagrange
6.2. Positions d'équilibre du deuxième type
6.2.1. Point L4,L5 de Lagrange
L'observation (outil principal du physicien pour rappel) semble montrer qu'à première vue, les trajectoires suivies par les corps célestes en orbite autour d'astres sont bien de type coniques (ouf!). Sachant cela, nous pouvons afin de faciliter les calculs, anticiper la complexification des calculs et exprimer directement la dynamique d'un point matériel en des coordonnées polaires.
Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel, la vitesse en coordonnées polaires s'exprime par la relation (nous avons changé la lettre grecque de notation de l'angle pour nous adapter à la tradition):
(47.69)
où pour rappel le premier terme est la composante radiale de la vitesse et le second la composante tangentielle de la vitesse (angulaire).
Pour l'accélération:
(47.70)
où le premier terme est l'accélération radiale, le second l'accélération centripète, le troisième l'accélération tangentielle et le quatrième l'accélération de Coriolis (cf. chapitre de Mécanique Classique).
Maintenant que nous avons les outils nécessaires, attaquons nous au cas des orbites képlériennes dans le cas d'un champ Newtonien.
Nous avons déjà démontré que plus haut :
(47.71)
Cependant, il est peu probable que le corps principal soit une sphère parfaite et homogène... Les astrophysiciens ont donc l'habitude de noter le potentiel Newtonien U sous la forme:
(47.72)
où est
appelée "constante de gravitation de
l'astre" et où f est
une fonction représentant les hétérogénéités de l'astre.
S'il est un endroit de l'univers où les lois de la mécanique sont parfaitement vérifiables, c'est bien l'espace, parce que le frottement ou les causes de dissipation y sont extrêmement faibles. Dans le champ d'une seule force dérivant d'un potentiel, le mouvement vérifie la conservation de l'énergie mécanique.
Nous aboutissons ainsi à l'équation dite de l'énergie, dans laquelle E désigne "l'énergie spécifique" par unité de masse (kilogramme) envoyé.
(47.73)
donc :
(47.74)
La force de gravitation newtonienne est centrale, donc de moment nul au centre O du corps principal. Il en résulte la conservation du moment cinétique en norme et en direction, soit:
(47.75)
Le
vecteur est
l'unitaire de
ou
de
appelé
"moment cinétique réduit". K est
la constante des aires (cf. chapitre de
Mécanique Classique) telle
que:
(47.76)
Nous rappelons que la norme de la vitesse exprimée en coordonnées polaires plane est donné par la relation (n'oubliez pas que les deux vecteurs de la base polaire sont orthogonaux et que l'on peut donc appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la norme comme il l'a été démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel du site):
(47.77)
Ce qui nous permet d'écrire pour K :
(47.78)
Plaçons-nous dans le plan orbital, en coordonnées polaires. Nous possédons deux intégrales premières dépendant des deux constantes essentielles E et K.
Soit
la relation déjà démontrée
et sa norme
.
Or:
(47.79)
Remplaçons dans l'expression de :
(47.80)
En égalant avec l'expression de résultant
de la conservation de l'énergie, nous avons:
(47.81)
Ce qui nous donne une équation différentielle assez compliquée:
(47.82)
Et là nous nous demandons
comment nous pouvons faire pour nous en sortir. Après quelques
heures de réflexions... nous nous rendons compte qu'il faut faire
une substitution. Après une autre heure de chaos neuronal cela
finit par aboutir. Nous décidons de poser (nous en avons tout à fait
le droit), sachant que r est
une fonction u de :
(47.83)
Dérivons allégrement par rapport à
:
(47.84)
Substituons dans l'équation différentielle:
(47.85)
Après simplification nous obtenons :
(47.86)
Nous séparons les variables pour intégrer:
(47.87)
Nous avons deux solutions suivant le signe que nous choisissons. Cependant à la fin de la résolution, nous remarquons que le seul choix physiquement intéressant est le signe négatif. Ainsi:
(47.88)
Nous laissons, par approximation, de côté la constante d'intégration qui impliquerait des très faibles oscillations sur la trajectoire de l'orbite (si vous faites une étude ou un TP sur le sujet, communiquez-moi les graphiques que vous obtenez avec ou sans la constante, cela m'intéresserait).
Ce qui nous permet d'obtenir :
(47.89)
Or, nous voyons que notre choix du signe pour l'intégration se justifie pleinement puisque maintenant, si nous faisons un petit rappel sur les coniques, nous voyons que nous avons:
(47.90)
où e est l'excentricité
(rapport du petit axe )
et p le paramètre focal (
)
d'une ellipse. Ce qui correspond bien aux trajectoires que suivent
les astres en orbite.
Nous retrouvons donc bien la première "loi" de Kepler....
Dans notre cas, nous avons après simplification :
et
(47.91)
où (pour rappel) K est la constante des aires :
(47.92)
et la constante
de gravitation de l'astre :
(47.93)
et enfin E l'énergie spécifique :
(47.94)
Le lecteur vérifiera comme nous l'avons vu dans le chapitre de Géométrie Analytique lors de notre étude des coniques que si :
- nous
avons une orbite ouverte sous forme de parabole
- nous
avons une
orbite ouverte sous forme d'hyperbole
- nous
avons une orbite fermée sous forme d'une ellipse ou de cercle.
PÉRIODE ORBITALE KEPLERIENNE
La
loi des aires permet comme nous le savons déjà de
calculer la période
orbitale képlérienne
T. En effet, l'aire S de l'ellipse valant
(cf. chapitre sur les Formes Géométriques)
et ayant déjà déterminé lors
de la définition
du moment cinétique
la relation (cf. chapitre de Mécanique
Classique):
(47.95)
Il vient naturellement:
(47.96)
Par ailleurs, l'étude des coniques (cf. chapitre de Géométrie Analytique) nous a montré que :
(47.97)
et nous avons défini plus haut :
(47.98)
Nous avons donc la relation :
(47.99)
et nous retrouvons du même coup la troisième loi de Kepler... :
(47.100)
ce qui valide nos calculs précédents.
DÉFLEXION CLASSIQUE DE LA LUMIÈRE
Les calculs effectués précédemment peuvent s'appliquer à un cas intéressant : la déviation de la lumière par un astre selon une interprétation newtonienne (bien évidemment!).
Nous avons donc montré plus haut que :
(47.101)
Dans le cadre d'un photon
nous aurions tendance à poser que
et donc que :
(47.102)
en posant
les relations trigonométriques élémentaires
(cf. chapitre de Trigonométrie)
nous donnent :
(47.103)
et donc en utilisant encore les relations trigonométriques :
(47.104)
soit :
(47.105)
et nous savons que :
(47.106)
donc :
(47.107)
en négligeant l'énergie
potentielle du photon puisque ,
nous avons (attention!!! rappelons que selon ce que nous avons
vu dans le chapitre de Relativité Restreinte, le photon
n'a pas de masse rigoureusement!):
(47.108)
Donc :
(47.109)
donc:
(47.110)
après simplification :
(47.111)
et comme
est supposé petit, nous avons à l'aide du développement
de Taylor de la fonction tangente (cf. chapitre
sur les Suites Et Séries) :
(47.112)
il vient donc finalement :
(47.113)
Or, nous avons par définition :
(47.114)
et nous savons
que (cf.
chapitre de Mécanique Classique). Ainsi
il vient :
(47.115)
Si la particule est un photon passant au ras de la surface du Solaire alors :
(47.116)
un calcul numérique donne alors :
(47.117)
La théorie Newtonienne prévoit donc une déviation de 0.87 secondes d'arc pour un rayon lumineux frôlant la surface solaire. Ce qui est deux fois moins que ce qui peut être observé expérimentalement et que ce que donne la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Générale)!
prÉcession du pÉrihÈlie
Avant d'étudier la précession des orbites, nous souhaiterions rappeler que le champ gravitationnel et un champ conservatif et central. Ceci implique donc que le moment cinétique (cf. chapitre de Mécanique Classique) est constant et que la trajectoire a lieu dans un plan dont le vecteur normal à la surface conserve toujours la même direction (le vecteur moment cinétique est constant en norme et en direction pour rappel!).
Nous nous attaquerons à l'analyse de la précession du périhélie en prenant en compte les résultats de la théorie de la relativité restreinte (cela permettant d'être plus fin dans les résultats obtenus et de pouvoir appliquer ces mêmes résultats aux électrons en orbite autour du noyau de l'atome).
Définitions:
D1. Le "périhélie" est le point de l'orbite d'un corps céleste (planète, comète, etc.) qui est le plus rapproché de l'étoile autour duquel il tourne.
D2. "L'aphélie" est le point de l'orbite d'un objet (planète, comète, etc.) où il est le plus éloigné de l'étoile autour duquel il tourne.
D3. "L'équinoxe" est l'instant où le l'étoile centrale traverse l'équateur de l'objet qui est en orbite autour de lui.
Evidemment, le résultat que nous obtiendrons ne sera pas complet, puisque comme nous le savons, il a fallu attendre le développement de la relativité générale pour donner avec exactitude la précession du périhélie de Mercure (nous y reviendrons).
Pour calculer cet effet de précession, nous allons rechercher l'équivalent d'une formule dite "formule de Binet" sous forme relativiste (nous verrons la forme classique dans le chapitre de Relativité Générale). Nous procédons comme suit :
Le lagrangien relativiste du système (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :
(47.118)
Avec :
(47.119)
et la masse réduite :
(47.120)
Le moment cinétique :
(47.121)
sous forme relativiste et appliqué à notre étude s'écrit:
(47.122)
En prenant la norme, nous avons sans
oublier que dans note étude
et donc
:
(47.123)
et rappelons que nous avons adopté
l'écriture .
Ce qui nous donne finalement:
(47.124)
Pour établir l'équivalent relativiste de la formule de Binet:
- nous partons du moment cinétique :
(47.125)
- nous recherchons une relation du
type (puisque
la trajectoire est une conique):
(47.126)
Effectivement car rappelons qu'en coordonnées polaires la vitesse est donnée par l'expression suivante:
(47.127)
C'est-à-dire que .
Cette dernière expression permet d'écrire que:
(47.128)
- nous cherchons ensuite une relation
:
(47.129)
Soit:
(47.130)
A partir des équations obtenues précédemment, nous avons successivement:
(47.131)
Rappelons que nous avions défini en relativité restreinte:
(47.132)
Avec les équations précédentes, cela nous donne:
(47.133)
D'autre part:
(47.134)
En introduisant l'avant dernière relation dans cette dernière:
(47.135)
En posant et
comme:
(47.136)
L'avant dernière relation devient avec cette dernière expression:
(47.137)
En égalant cette dernière relation avec celle du lagrangien:
(47.138)
En dérivant cette dernière relation
par rapport à :
(47.139)
Effectivement, le lagrangien étant constant au cours du temps (le système est conservatif !), nous avons donc:
(47.140)
et également:
(47.141)
Or, si nous continuons:
(47.142)
En se référant à:
(47.143)
Nous obtenons donc:
(47.144)
Ce qui donne finalement après quelques simplifications:
(47.145)
En multipliant cette dernière par :
(47.146)
Dans un potentiel gravitationnel:
(47.147)
L'équation de Binet en relativité restreinte est alors:
(47.148)
Pour rechercher une solution à cette équation différentielle, nous allons grouper la variable u dans le membre de gauche:
(47.149)
Nous posons :
et
(47.150)
L'équation différentielle s'écrit alors:
(47.151)
Nous posons :
(47.152)
En prenant la dérivée seconde:
(47.153)
Nous trouvons alors une simple équation différentielle dont la solution est bien connue:
(47.154)
Les solutions sont du type:
(47.155)
Ce qui s'écrit encore puisque est
une constante:
(47.156)
avec
.
Pour déterminer les constantes nous
nous plaçons d'abord dans la situation pour laquelle
,
où r est minimal et donc par définition u
maximal.
Nous dérivons par rapport à :
(47.157)
Donc ce
qui fait que la relation:
(47.158)
devient:
(47.159)
(47.160)
Et l'intérêt d'écrire cela ainsi est de remarquer que nous retombons sur l'équation d'une ellipse avec p étant le paramètre focal de la conique étant aussi donné par (cf. chapitre de Géométrie Analytique):
(47.161)
où a est le demi-grand axe de l'ellipse.
Maintenant posons :
et
(47.162)
Au premier passage par le
périhélie
où :
(47.163)
nous avons donc:
(47.164)
Au deuxième passage par
le périhélie
,
nous avons :
(47.165)
nous avons donc également:
(47.166)
La trajectoire est toujours une ellipse
mais l'angle qui
était nul au départ est devenu
.
Soit si nous avons :
(47.167)
Alors:
(47.168)
Ce qui nous donne:
(47.169)
Etant donné que ,
un développement en série de Taylor (cf.
chapitre sur les Suites Et Séries):
(47.170)
En se limitant à l'ordre 2:
(47.171)
Donc en conclusion, il y a un avancement du périhélie s'effectuant dans le sens de rotation du satellite. Pour un référentiel situé dans le plan de rotation du satellite, la trajectoire est toujours une ellipse.
Cette avance est de:
(47.172)
par demi-période. Soit en explicitant le moment cinétique donné pour rappel par:
(47.173)
Il vient alors après simplification:
(47.174)
Nous allons maintenant nous permettre une approximation assez grossière (mélange de relativiste et non relativiste). Soit à considérer la dernière relation, nous avons obtenu lors de nos développements des trajectoires d'orbitales képlériennes la relation :
(47.175)
Dès lors en injectant ceci dans la relation de nous
avons :
(47.176)
Malheureusement, les valeurs numériques pour Mercure ne donnent qu'une précession de 7'' d'angle par siècle et non pas les 43'' d'angle par siècle attendus (...) il manque un facteur 6 que seulement la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Générale) permet de trouver. Il est néanmoins intéressant de constater que la relativité, même restreinte, donne déjà une orbite qui précesse là où Newton voit une ellipse stable et que cette approximation fonctionne pour toutes les planètes exceptées Mercure (planète la plus proche du Soleil et subissant de plein fouet la courbure de l'espace-temps).
(47.177)
avec étant
le moment cinétique et dans le cas de l'atome nous prendrons (cf.
chapitres Physique Quantique Corpusculaire):
(47.178)
avec la masse réduite valant:
(47.179)
Si les positions du périhélie (et donc de l'aphélie) du barycentre Terre-Lune étaient constantes dans le temps, la durée des différentes saisons serait, elle aussi constante. Mais l'orbite du barycentre Terre-Lune tourne lui aussi dans son plan dans le sens direct à raison d'environ 12'' par an (soit une révolution en environ 100'000 ans).
La précession des équinoxes s'effectue dans le sens contraire (sens rétrograde) à raison d'environ 50'' par an (soit une révolution en environ 26'000 ans). La combinaison de ces deux mouvements permet de calculer la période du passage du périhélie de la Terre par la direction de l'équinoxe de printemps, cette période d'environ 21'000 ans est appelée précession climatique.
En effet, tous les 10'500 ans (demi-période de la précession climatique) l'aphélie passe de l'été à l'hiver. Or même si la distance Terre-Soleil n'est pas le facteur prédominant dans la nature des saisons, la combinaison du passage de la Terre à l'aphélie en hiver donne des hivers plus rudes. La distance Terre-Soleil dépend également de la variation de l'excentricité de l'orbite terrestre (due aux planètes extérieures et intérieures). Ainsi, les périodes glacières sont corrélées avec les minima de l'excentricité de l'orbite terrestre.
(47.180)
Les travaux de l'institut de mécanique céleste (France), depuis les années 1970, ont permis de confirmer définitivement les prédictions théoriques comme quoi la l'excentricité de l'orbite terrestre subit de larges variations formées de nombreux termes périodiques dont les plus importants ont des périodes voisines de 100'00 ans, et pour l'un d'eux, une période de 400'000 ans. Ces résultats confirment les variations climatiques de la Terre au cours de l'ère quaternaire. Les paléoclimatologies montrent en effet la corrélation entre les variations des éléments de l'orbite terrestre et les grandes glaciations du quaternaire.
et la constante de structure fine égale approximativement à ~1/137, nous obtenons pour la précession du périhélie de l'orbite donnée:
(47.181)
selon un point de vue corpusculaire de la matière! (ce qui nous le savons n'est plus à l'ordre du jour).
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